Utilizzando l'ottica geometrica, si può facilmente verificare che
i modi di propagazione guidata della luce sono discreti e con costante
di propagazione b compresa tra k0n3 e k0n2.
Nel caso di guide step- index, la condizione di confinamento della luce impone che i raggi vengano riflessi totalmente alle interfacce 1-2 e 2-3 (fig. 2.6), ossia l'angolo di incidenza dei raggi alle interfacce deve essere maggiore dell'angolo critico:
(2.13)
ossia
(2.14)
La condizione per l'interfaccia 1-2 è soddisfatta se lo è l'equazione (2.13) (o la (2.14)), dal momento che n3> n1.
Figura 2.6:
Raggio non guidato (a sinistra) e raggio guidato per riflessioni totali (a destra).
In presenza di un modo il fascio di luce ogni due riflessioni riproduce se stesso, ossia tra i punti A e B ci deve essere uno sfasamento multiplo di 2p. La condizione di autoconsistenza è:
(2.15)
con jr sfasamento introdotto in ciascuna riflessione all'interfaccia (supposte per semplicità uguali), che per modi TE vale:
(2.16)
con jr che varia da 0 a p, per che varia tra
e 0.
Riscrivendo la (2.16) utilizzando la (2.15), si ha un'equazione in
:
(2.17)
le cui soluzioni sono riportate in figura 2.7 [41]. Gli angoli permessi sono
discreti e compresi tra 0 e
. Il vettore d'onda corrispondente è:
(2.18)
La componente lungo z è la costante di propagazione del campo elettrico dei modi guidati TE,
, cioè:
(2.19)
che varia dunque in modo discreto. Dal momento che
è compreso tra 1 e
,
bm è compreso tra:
(2.20)
relazione già trovata nello studio dei modi guidati dal punto di vista ondulatorio.
Figura 2.7:
Soluzione grafica dell'equazione (2.17). Sono rappresentate le due funzioni eguagliate nell'equazione (2.17) in funzione di
e le intersezioni corrispondono al seno degli
permessi.
Nel semplice caso in cui jr = p, l'equazione (2.15) si riduce a:
(2.21)
da cui si deduce che gli angoli
permessi soddisfano l'equazione:
(2.22)
ossia
è multiplo di
(intersezione della curva (2) con gli asintoti della curva (1) in fig. 2.7). Il numero dei modi guidati mè limitato dalla condizione
1, che equivale alla:
(2.23)
Una guida, che si estende per una profondità d, supporta perciò un numero di modi m, per luce di lunghezza d'onda l, tanto più alto quanto maggiore è il rapporto
.
La costante di propagazione dei raggi guidati nella direzione x è
viene quantizzata in:
(2.24)
Quando un'onda percorre uno spazio lungo x pari a 2d (fascio riflesso due volte), lo sfasamento introdotto è multiplo di 2p, ossia l'onda riproduce se stessa.