2.2.2 I modi guidati in ottica geometrica

Utilizzando l'ottica geometrica, si può facilmente verificare che i modi di propagazione guidata della luce sono discreti e con costante di propagazione b compresa tra k₀n₃ e k₀n₂.

Nel caso di guide step- index, la condizione di confinamento della luce impone che i raggi vengano riflessi totalmente alle interfacce 1-2 e 2-3 (fig. 2.6), ossia l'angolo di incidenza dei raggi alle interfacce deve essere maggiore dell'angolo critico:

$$\overline{\vartheta} \ge \overline{\vartheta'}= \arcsin\left(\frac{n_{3}}{n_{2}}\right)$$ (2.13)

ossia

$$\vartheta \le \overline{\vartheta'_{c}}= \frac{\pi}{2} - \overline{\vartheta'}= \arccos\left(\frac{n_{3}}{n_{2}}\right)$$ (2.14)

La condizione per l'interfaccia 1-2 è soddisfatta se lo è l'equazione (2.13) (o la (2.14)), dal momento che n₃> n₁.

Figura 2.6: Raggio non guidato (a sinistra) e raggio guidato per riflessioni totali (a destra).

In presenza di un modo il fascio di luce ogni due riflessioni riproduce se stesso, ossia tra i punti A e B ci deve essere uno sfasamento multiplo di 2p. La condizione di autoconsistenza è:

$$2d \frac{2 \pi}{\lambda} n_2 \sin\vartheta - 2 \varphi_{r} = 2 \pi m \qquad m=0,1,2...$$ (2.15)

con j_r sfasamento introdotto in ciascuna riflessione all'interfaccia (supposte per semplicità uguali), che per modi TE vale:

$$\tan\left(\frac{\varphi_{r}}{2}\right)= \left( \frac{\sin^{2} \overline{\vartheta'_{c}}}{\sin^{2}\vartheta} -1 \right)^{\frac{1}{2}}$$ (2.16)

con j_r che varia da 0 a p, per $\vartheta$ che varia tra $\overline{\vartheta'_{c}}$ e 0. Riscrivendo la (2.16) utilizzando la (2.15), si ha un'equazione in $\sin\vartheta$:

$$\tan\left(\frac{\pi}{\lambda}n_2 d \sin\vartheta - m \frac{ \pi}{... ...\sin^{2} \overline{\vartheta'_{c}}}{\sin^{2}\vartheta} -1 \right)^{\frac{1}{2}}$$ (2.17)

le cui soluzioni sono riportate in figura 2.7 [41]. Gli angoli $\vartheta$ permessi sono discreti e compresi tra 0 e $\overline{\vartheta'_{c}}$. Il vettore d'onda corrispondente è:

$$\vec{k} = \left( \begin{array}{c} n_{2} k_{0} \sin \vartheta_{m} 0 n_{2} k_{0} \cos \vartheta_{m} \end{array} \right)$$ (2.18)

La componente lungo z è la costante di propagazione del campo elettrico dei modi guidati TE, $\vec{E}(x,y,z,t)= \left( \begin{array}{l} 0 \\ E_{y}(x) e^{i (\omega t - \beta_{m} z)} \\ 0 \\ \end{array} \right)$, cioè:

$$\beta_{m}= n_{2} k_{0} \cos \vartheta_{m}$$ (2.19)

che varia dunque in modo discreto. Dal momento che $\cos \vartheta_{m}$ è compreso tra 1 e $\cos \overline{ \vartheta'_{c}} = \frac{n_{3}}{n_{2}}$, b_m è compreso tra:

$$k_{0}n_{3} \le \beta_{m} \le k_{0}n_{2}$$ (2.20)

relazione già trovata nello studio dei modi guidati dal punto di vista ondulatorio.

Figura 2.7: Soluzione grafica dell'equazione (2.17). Sono rappresentate le due funzioni eguagliate nell'equazione (2.17) in funzione di $\sin\vartheta$ e le intersezioni corrispondono al seno degli $\vartheta_m$ permessi.

Nel semplice caso in cui j_r = p, l'equazione (2.15) si riduce a:

$$2d \frac{2 \pi}{\lambda} n_2 \sin\vartheta= 2 \pi (m+1) \qquad m=0,1,2...$$ (2.21)

da cui si deduce che gli angoli $\vartheta_m$ permessi soddisfano l'equazione:

$$\sin\vartheta_m=(m+1) \frac{\lambda}{2 dn_2} \qquad m=0,1,2...$$ (2.22)

ossia $\sin\vartheta_m$ è multiplo di $\frac{\lambda}{2dn_2}$ (intersezione della curva (2) con gli asintoti della curva (1) in fig. 2.7). Il numero dei modi guidati mè limitato dalla condizione $\sin\vartheta_m \le$1, che equivale alla:

$$(m+1) \le \frac{2dn_2}{\lambda}$$ (2.23)

Una guida, che si estende per una profondità d, supporta perciò un numero di modi m, per luce di lunghezza d'onda l, tanto più alto quanto maggiore è il rapporto $\frac{d}{\lambda}$.
La costante di propagazione dei raggi guidati nella direzione x è $k_{x}=n_2 k_0 \sin\vartheta_m$ viene quantizzata in:

$$k_{mx}=(m+1) \frac{\pi}{d}$$ (2.24)

Quando un'onda percorre uno spazio lungo x pari a 2d (fascio riflesso due volte), lo sfasamento introdotto è multiplo di 2p, ossia l'onda riproduce se stessa.

Guide di luce in niobato di litio drogato con ferro per applicazioni olografiche
Barbara Imperio
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