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Appunti di teoria dei segnali

Elementi di teoria della probabilita'

1. TEORiA DELLA PROBABiLiTA'

Argomento
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TEORiA DELLA PROBABiLiTA'
Evento
Probabilita' (Assiomi di Kolmogorov)
Corollari
Campo degli eventi (Insieme di Borel)
Approccio frequentista
1

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Calcolo della probabilita'
SPAZiO Di PROBABiLiTA'
Probabilita' sull'asse reale
PROBABiLiTA' CONDiZiONALE 		1b

1b

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Leggi di probabilita' condizionale
Legge della probabilita' composta
Regola della catena
Probabilita' totale
Teorema di Bayes
EVENTi iNDiPENDENTi 		3
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Generalizzazione
Proprieta'
Indipendenza a coppie
Indipendenza condizionale
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ALTRO MATERiALE
Alcune proprieta' della probabilita' e dei campi di Borel [PDF]

2. PROVE RiPETUTE

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ESPERiMENTi COMBiNATi
Relazioni di congruenza
Esperimenti indipendenti
Esperimenti uguali
Generalizzazione
Prove ripetute
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PROVE Di BERNOULLi
BSC: CANALE BiNARiO SiMMETRiCO
Probabilita' di scambio
Canale simmetrico (continua)
1b
1b

1b
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Canale simmetrico (segue)
Probabilita' di errore
3
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3. VARiABiLE ALEATORiA

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VARiABiLE ALEATORiA (O CASUALE)
Collezione di risultati
Definizione e proprieta' di una V.A.
Funzione di Distribuzione Cumulativa (CDF)
Proprieta' della CDF
Variabile aleatoria positiva
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Continuita' da destra
Collezioni di risultati (probabilita')
Classificazione di V.A.
Funzione densita' della probabilita' (pdf)
Proprieta' della pdf
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1b
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Densita' di probabilita'
Teorema di esistenza
ESEMPi Di DiSTRiBUZiONi E DENSiTA'
Variabile aleatoria di Bernoulli
Variabile aleatoria binomiale
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3

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Variabile aleatoria uniforme
Variabile aleatoria gaussiana
Funzione errore
Variabile aleatoria esponenziale (continua)
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3b
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Variabile aleatoria esponenziale (segue)
Variabile aleatoria di Laplace
Mixture
DiSTRiBUZiONi E DENSiTA' CONDiZiONATE
La CDF condizionale
La pdf condizionale
Eventi in funzione della V.A. (continua)
5
5
5

5

5
5
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Eventi in funzione della V.A. (segue)
Probabilita' totale
Probabilita' a posteriori (Bayes)
ALTRE VARiABiLi ALEATORiE
Cauchy
Rayleigh
5b
5b
5b

5b

5b
5b
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4. FUNZiONi Di UNA VARiABiLE ALEATORiA

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FUNZiONi Di UNA VARiABiLE ALEATORiA
Trasformazione di variabili aleatorie
DETERMiNAZiONE Di DiSTRiBUZiONE E DENSiTA'
Esempi (trasf. lineare, quadratica, qualsiasi)
1

1

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Teorema fondamentale (Problema di analisi)
Eccezioni al teorema
Problema di sintesi
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1b
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Problema di sintesi (riepilogo)
Variabile aleatoria di Cauchy (Esempio)
VALORE ASPETTATO E DiSPERSiONE
Media
Discussione (Proprieta' ed esempi)
Variabili aleatorie discrte (Esempi)
Media condizionale
3
3

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3
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Teorema fondamentale della media
Valore quadratico medio (VQM)
Linearita' (Proprieta' della media)
Varianza
Non linearita' (Proprieta' della varianza)
Esempi
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3b
3b
3b
3b
3b
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Variabili aleatorie discrete (Esempi)
MOMENTi
Momenti (centrali e non) di ordine 'n'
Proprieta'
Caratterizzazione
Disuguaglianze
Disuguaglianza di Markov
Disuguaglianza di Bienayme' (continua)
5

5

5
5
5
5
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Disuguaglianza di Bienayme' (segue)
Disuguaglianza di Chebishev
5b
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ALTRO MATERiALE
Caratterizzazione sintetica della distribuzione geometrica: [PDF]

5. COPPiE Di VARiABiLi ALEATORiE

Argomento
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DiSTRiBUZiONi E DENSiTA' CONGiUNTE
CDF congiunta
Proprieta' della CDF congiunta
Proprieta' (calcolo della probabilita' in casi notevoli)
La pdf congiunta
1

1
1
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La pdf congiunta (Proprieta')
Caratterizzazione (marginali)
Variabili aleatorie congiuntamente gaussiane
VARiABiLi ALEATORiE iNDiPENDENTi 		1b
1b
1b

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6. FUNZiONi Di DUE VARiABiLi ALEATORiE

Argomento
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FUNZiONi Di DUE VARiABiLi ALEATORiE
Somma
DUE FUNZiONi Di DUE VARiABiLi
Teorema fondamentale (continua)
1

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Teorema fondamentale (segue)
Coordinate polari
Variabile ausiliaria
Somma
FUNZiONi Di VARiABiLE ALEATORiE
Coordinate polari (Rayleigh) (continua)
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1b
1b
1b

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Coordinate polari (Rayleigh) (segue)
MOMENTi CONGiUNTi
Media
Momenti congiunti
Correlazione
Momenti congiunti centrali
Relazione fra covarianza e correlazione
3

3

3
3
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Varianza
DiSTRiBUZiONi CONDiZiONATE
Marginali
Indipendenza
Distribuzioni condizionalmente gaussiane
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3b

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3b
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Altra definizione di indipendenza
Teorema di Bayes
Probabilita' totale
MEDiA CONDiZiONALE
Teorema della media condizionale
5
5
5

5

5
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7. SPAZi VETTORiALi Di VARiABiLi ALEATORiE

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SPAZi VETTORiALi Di VARiABiLi ALEATORiE
Operazioni
Altre operazioni
Ortogonalita'
Disuguaglianza di Schwartz
Coefficiente di correlazione
Incorrelazione
1

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1
1
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Dipendenza lineare
Ortogonalita' (variabili a media nulla)
VETTORi Di VARiABiLi ALEATORiE
Proprieta'
Trasformazioni (continua)
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1b

1b

1b
1b
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Trasformazioni (segue)
Teorema fondamentale
Indipendenza
Identica distribuzione
Variabili IID (Indipendenti ed Identicamente Distribuite)
Trasformazioni diagonali
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MOMENTi
Matrici di correlazione e covarianza
Prodotto esterno
Matrici (relazione)
Proprieta'
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Incorrelazione
DENSiTA' E MEDiE CONDiZiONALi
Definizione
Regola della catena
STiMATORE - TEOREMi LiMiTE
Legge (debole) dei grandi numeri (continua)
5

5

5
5

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Legge (debole) dei grandi numeri (segue)
Legge forte dei grandi numeri
Teorema Centrale del Limite (CLT)
5b
5b
5b
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