«L'universo non è stato creato, ma viene creato
continuamente. Cresce, forse indefinitamente ... »
La scienza
moderna afferma che l'universo ebbe inizio come una struttura semplice e priva
di particolari caratteristiche, ma diventa sempre più complesso con il passare
del tempo.
Benché questa tendenza unidirezionale sia evidente. non è facile identificare la
qualità che sta progredendo, rappresentata dalla complessità.
Probabilmente l'universo primordiale si trovava in uno stato di semplicità
estrema. Attualmente, per contro, la complessità abbonda a qualunque livello,
dalle molecole ai superammassi galattici. Deve quindi esistere un qualche tipo
di legge di complessità crescente. Si spera che studiando sistemi complessi in
molte discipline diverse, si scoprano nuovi principi universali che possano far
luce sul modo in cui la complessità aumenta con il tempo.
La natura abbonda di strutture complesse che amalgamano regolarità e
irregolarità: linee costiere, foreste, catene montuose, lastre di ghiaccio,
ammassi stellari. La materia si manifesta in una varietà di forme apparentemente
illimitata. Come è possibile studiarle scientificamente?
La difficoltà fondamentale risiede nel fatto che, per la loro stessa natura, le
forme complesse presentano un alto grado di individualità. Siamo in grado di
riconoscere un fiocco di neve come tale, ma non esistono due fiocchi di neve
identici. La scienza convenzionale tenta di spiegare le cose in maniera esatta,
in termini di principi generali. Qualunque spiegazione per la forma di un fiocco
di neve o di una linea costiera non può essere di questo tipo.
Il paradigma newtoniano, che ha le sue radici in quella branca della matematica
il calcolo differenziale che considera qualunque trasformazione come graduale e
continua, non è molto adatto per trattare qualcosa di irregolare. L'approccio
tradizionale a un sistema complicato e irregolare è quello di rappresentarlo con
un modello che lo approssima a un sistema regolare. Più irregolare è il sistema
reale, meno soddisfacente diviene il modello. Per esempio, le galassie non sono
distribuite uniformemente nello spazio, ma sono raggruppate in ammassi,
filamenti e altre forme spesso complicate e irregolari. Cercare di rappresentare
queste caratteristiche usando metodi newtoniani richiede simulazioni al
calcolatore che impiegano molte ore di calcolo anche sulle macchine attuali.
Quando si prendono in considerazione sistemi estremamente organizzati, come una
cellula di un organismo vivente, il problema di rappresentare il sistema
approssimandolo con grandezze semplici, continue e lentamente variabili è senza
speranza. E per questo motivo che i tentativi di sociologi ed economisti di
imitare i fisici e descrivere la loro materia per mezzo di semplici equazioni
matematiche è raramente convincente.
In generale, i sistemi complessi non soddisfano i requisiti della modellistica
tradizionale per quattro motivi.
Il primo concerne la loro formazione. Spesso la complessità si manifesta
bruscamente, piuttosto che per mezzo di un'evoluzione lenta e continua.
In secondo luogo, spesso (anche se non sempre) i sistemi complessi hanno un gran
numero di componenti (gradi di libertà).
Terzo, sono raramente sistemi chiusi; in verità, è solitamente il fatto di
essere aperti a un ambiente complesso che li aziona. Infine, tali sistemi sono
per lo più «non lineari», un concetto importante su cui ci soffermeremo.
Vi è una certa tendenza a pensare alla complessità esistente in natura come a
una sorta di fastidiosa aberrazione che ostacola il progresso della scienza.
Solo molto recentemente è emersa una prospettiva interamente nuova, secondo la
quale la complessità e l'irregolarità sono viste come la norma e le linee
smussate come l'eccezione. Nell'approccio tradizionale i sistemi complessi sono
considerati come complicate raccolte di sistemi semplici. Vale a dire che i
sistemi complessi o irregolari sono in linea di principio analizzabili in
termini dei loro costituenti semplici, e il comportamento dell'insieme si
ritiene sia riducibile al comportamento delle parti che lo compongono. Il nuovo
approccio tratta i sistemi complessi o irregolari come sistemi primari di per se
stessi. Essi non possono essere semplicemente «sminuzzati» in una quantità di
pezzetti più piccoli e mantenere tuttavia le loro qualità distintive.
Potremmo chiamare questo nuovo approccio sintetico od olistico, in contrasto con
analitico o riduzionistico, perché tratta i sistemi come entità uniche. Così
come ci sono sistemi semplici idealizzati (ad esempio, le particelle elementari)
da usarsi come blocchi da costruzione nell'approccio riduzionistico, si devono
anche cercare sistemi complessi o irregolari idealizzati da usarsi
nell'approccio olistico. I sistemi reali possono allora essere considerati come
approssimazioni di questi sistemi complessi o irregolari idealizzati.
Nonostante le limitazioni della modellistica convenzionale, numerosi sistemi
fisici possono di fatto essere abbastanza correttamente approssimati come
regolari e continui. Questo fatto può spesso essere fatto risalire a una
proprietà cruciale nota come linearità.
Un sistema lineare è un sistema nel quale causa ed effetto sono legati in modo
proporzionale. Come semplice esempio consideriamo l'allungamento di una
cordicella di materiale elastico. Se la cordicella si estende di una certa
lunghezza se si applica una certa forza, essa si estende del doppio se la forza
applicata è doppia. Questa relazione è chiamata lineare perché se si traccia un
grafico che rappresenta la lunghezza dell'elastico in funzione della forza
applicata si ottiene una linea retta. Questa retta è descritta
dall'equazione y=ax+b, dove y è la lunghezza della cordicella, x è la forza
applicata, e a e b sono costanti. Se la cordicella viene tirata troppo, la sua
elasticità incomincia a venir meno e si perde così la proporzionalità fra forza
e allungamento. Il grafico si discosta da una retta mano a mano che la
cordicella si irrigidisce; il sistema è ora non lineare. Alla fine l'elastico si
spezza, una risposta altamente non lineare alla forza applicata.
Un gran numero di sistemi fisici è descritto da grandezze che sono legate
linearmente. Un esempio importante è costituito dal moto ondulatorio. Una
particolare forma dell'onda è descritta dalla soluzione di una certa equazione
(matematicamente questa è una cosiddetta equazione differenziale, che è tipica
di quasi tutti i sistemi dinamici). L'equazione avrà anche altre soluzioni,
corrispondenti a onde di forme diverse. La proprietà della linearità riguarda
ciò che accade quando sovrapponiamo due o più onde. In un sistema lineare si
sommano semplicemente le ampiezze delle singole onde.
La maggior parte delle onde che si incontrano in fisica è in buona
approssimazione lineare, almeno fintanto che le loro ampiezze rimangono piccole.
Nel caso delle onde sonore, gli strumenti musicali devono le loro qualità
armoniche alla linearità delle vibrazioni in aria, di corde, ecc. Le onde
elettromagnetiche, come le radiazioni luminose e le onde radio, sono anch'esse
lineari, fatto di grande importanza nel campo delle telecomunicazioni. Anche le
correnti oscillanti nei circuiti elettrici sono spesso lineari, e la maggior
parte degli apparecchi elettronici è progettata per funzionare in modo lineare.
Le non linearità che talvolta si manifestano in apparecchi difettosi possono
produrre delle distorsioni del segnale in uscita.
Un'importante scoperta relativa ai sistemi non lineari fu fatta dal matematico e
fisico francese Jean Fourier. Fouríer dimostrò che una qualunque funzione
matematica periodica può essere rappresentata da una serie (generalmente
infinita) di onde sinusoidali pure, le cui frequenze sono multipli esatti l'una
dell'altra. Questo significa che qualunque segnale periodico, per quanto
complicato esso sia, può venire analizzato in una sequenza di semplici onde
sinusoidali. In sostanza, linearità significa che il moto ondulatorio, o
qualunque attività periodica, può essere fatto a pezzetti e ricomposto
nuovamente senza distorsioni. La linearità non è una proprietà esclusivamente
delle onde; è posseduta anche dai campi elettrici e magnetici, i campi
gravitazionali deboli, gli sforzi e le deformazioni in molti materiali, il
flusso di calore, la diffusione di gas e liquidi, e da molte altre grandezze. La
maggior parte della scienza e della tecnologia moderna si fonda sul fatto
fortunato che così tanto di ciò che interessa e ha importanza nella società
moderna coinvolge sistemi lineari. In parole povere, un sistema lineare è un
sistema per il quale il tutto è semplicemente la somma delle sue parti. Di
conseguenza, per quanto complesso un sistema lineare possa essere, può sempre
venir compreso semplicemente come l'unione o la sovrapposizione o la coesistenza
pacifica di molti elementi semplici che sono presenti insieme ma che non si
ostacolano a vicenda Tali sistemi possono perciò essere scomposti o analizzati o
ridotti alle loro parti componenti, mutuamente indipendenti. Non sorprende che
il peso maggiore della ricerca scientifica sia stato finora diretto verso lo
sviluppo di tecniche per studiare e controllare i sistemi lineari. Per contro, i
sistemi non lineari sono stati in gran parte trascurati. In un sistema non
lineare il tutto è molto di più della somma delle sue parti, e non può essere
ridotto o analizzato in termini di semplici sottounità che agiscono insieme. Le
proprietà risultanti possono spesso essere inaspettate, complicate e
intrattabili matematicamente.
In anni recenti, tuttavia, sforzi sempre maggiori sono stati rivolti verso lo
studio dei sistemi non lineari. Un risultato importante prodotto da queste
indagini è che sistemi non lineari anche molto semplici possono mostrare una
notevolmente ricca e sottile diversità di comportamento. Si potrebbe supporre
che un comportamento complesso richieda un sistema complesso, con molti gradi di
libertà, ma non è così. Prenderemo ora in esame un sistema non lineare
estremamente semplice e scopriremo che il suo comportamento è in realtà
infinitamente complesso.
Complessità istantanea
Il più semplice tipo di moto concepibile è quello di una singola particella
puntiforme che salta bruscamente da un punto a un altro lungo una linea.
Considereremo un esempio di questo tipo in cui il moto è deterministico, vale a
dire dove ciascuna posizione della particella è completamente determinata dalla
sua posizione precedente. Essa è allora determinata in qualunque istante, una
volta nota la sua posizione iniziale, specificando una procedura, o algoritmo,
per il calcolo dei salti successivi.
Per rappresentare con un modello matematico questo tipo di movimento si possono
numerare i punti sulla linea e far uso poi di un semplice algoritmo
per generare una sequenza di numeri. Si considera poi che questa sequenza
corrisponde a posizioni successive della particella, dove ciascuna applicazione
dell'algoritmo rappresenta una unità di tempo.
Ogni punto sulla linea corrisponde a un numero. La "particella" è un
punto che si muove a salti lungo la linea, seguendo un percorso stabilito da un
algoritmo aritmetico. In questo caso l'algoritmo è semplicemente "aggiungi uno". Per fare un esempio elementare, se partiamo con la
particella situata nel punto 0, e adottiamo il semplice algoritmo "aggiungi
uno", otteniamo la sequenza 1,2,3,4,5,6,7, ... che descrive una particella che
salta verso destra di una quantità costante. Questo è un esempio di algoritmo
lineare, e il moto risultante è tutto tranne che complesso. A prima vista sembra
che per generare una sequenza di numeri complicata sia necessario un algoritmo
complicato. Niente è più lontano dal vero. Consideriamo l'algoritmo "moltiplica
per due", che dà origine alla sequenza 1,2,4,8,16,... Così com'è, anche questo algoritmo
è lineare, e di interesse limitato, ma una piccola modifica cambia le cose
radicalmente.
Invece del raddoppiamento ordinario considereremo il raddoppiamento d'orologio.
Questo è quello che si fa quando si raddoppia una durata temporale come viene
letta sul quadrante di un orologio. I numeri sul quadrante vanno da 1 a 12 e poi
si ripetono: 12 viene considerato 0, e si ricomincia a contare da capo. Se
qualcosa impiega 5 ore, a partire da mezzanotte, finisce alle 5. Se impiega un
tempo doppio termina alle 10. Un successivo raddoppio ci porta non alle 20, ma
alle 8, perché si ricomincia da 0 quando la lancetta delle ore passa per le 12.
Succede che, invece di raddoppiare una lunghezza, si raddoppia un angolo. Quando
l'angolo raggiunge 360 gradi si ricomincia da 0. In termini di intervalli di linea,
ciò equivale a sostituire una linea infinita con un cerchio.
Useremo il raddoppiamento d'orologio come algoritmo per generare l'itinerario di
un punto che salta su una linea. I numeri sull'"orologio", tuttavia, saranno
quelli compresi fra 0 e 1. Quando si raggiunge 1 si riparte da 0. Il
raddoppiamento di un numero inferiore a 1/2 procede come al solito: per esempio,
0.4 diventa 0.8. Ma un numero maggiore di 1/2, quando viene raddoppiato, eccede
1: in questo caso si tralascia l'l e si considera solo la parte decimale. Così
0.8 raddoppia a 1.6, che diventa 0.6. Mentre il raddoppiamento convenzionale è
lineare, il raddoppiamento d'orologio possiede la proprietà della non linearità.
Maxwell e Boltzmann hanno
introdotto il concetto di probabilità in fisica trattando i movimenti di grandi
quantità di molecole per mezzo della meccanica statistica. Un elemento
essenziale fu l'assunzione che le collisioni molecolari avvengono casualmente.
L'irregolarità del moto delle molecole di un gas ha la sua origine nel loro
numero sterminato, che toglie anche la più remota speranza di poter seguire le
traiettorie delle singole molecole. Analogamente, nel caso del lancio di un
dado, nessuno può determinare esattamente le condizioni in cui il movimento
viene eseguito, e tutte le forze che agiscono sul dado. In altre parole, la
casualità può venire attribuita all'azione di forze (o di un qualche tipo di
variabili) che in pratica non conosciamo, ma che in linea di principio sono deterministiche. Quindi una divinità laplaciana in grado di seguire nel
dettaglio tutti i movimenti di un insieme di molecole di gas non percepirebbe il
mondo come un qualcosa di casuale. Ma per noi, semplici mortali dalle facoltà
limitate, la casualità è inevitabile.
La perplessità nasce dal fatto che se la casualità è un prodotto dell'ignoranza,
essa assume una natura soggettiva. Come è possibile che qualcosa di soggettivo
conduca a leggi di probabilità che governano con tale fiducia le attività di
oggetti materiali come la roulette e i dadi?
La ricerca della sorgente della casualità nei processi fisici ha subito una
radicale trasformazione per via della scoperta di esempi quali quello della
particella saltatrice. Qui siamo dì fronte a un processo che, come un gioco
d'azzardo, non è predicibile, e tuttavia non fa uso del concetto di grandi
numeri di particelle o di forze nascoste. In verità, è difficile immaginare un
processo più manifestamente semplice e deterministico di quello descritto nel
paragrafo precedente.
E' effettivamente possibile dimostrare che ogni salto della particella è casuale
quanto il lancio di una moneta. L'esposizione seguente è basata
sull'elegante dimostrazione fornita da Joseph Ford del Georgia Institute of
Technology. La dimostrazione di Ford richiede una breve digressione sulla teoria
dei numeri. Tornando per un istante all'aritmetica ordinaria, l'intervallo da 0
a 1 contiene ovviamente un numero infinito di punti che possono essere
specificati da una sequenza infinita di numeri decimali.
Fra questi numeri decimali vi sono quelli frazionari, come 1/2, 1/3,1/5, ecc.
Alcuni numeri frazionari possiedono un'espansione decimale finita (ad esempio,
1/2 = 0.5), mentre altri, ad esempio 1/3, richiedono un numero infinito di cifre
decimali: 1/3 = 0.333333... Una sequenza finita di cifre può essere
considerata come un semplice caso di sequenza infinita aggiungendo degli zeri:
ad esempio, 1/2 = 0.500000... Notate che tutte le frazioni o hanno un'espansione
decimale finita seguita da zeri, oppure tale espansione alla fine si ripete
periodicamente: per esempio, 3/11 =
0.272727272... e 7/13 = 0.538461538461...
Benché tutte le frazioni abbiano un'espansione decimale, non tutti i numeri
decimali possono essere espressi con una frazione. Cioè l'insieme di tutti i
numeri decimali infiniti contiene più elementi dell'insieme di tutte le
frazioni. In effetti vi è un numero infinitamente più grande di questi numeri
decimali "in più" (noti come "numeri irrazionali") che non di numeri frazionari,
a dispetto del fatto che esiste già un'infinità di frazioni. Tipici esempi di
numeri irrazionali sono pigreco, sqr(2) e la base dei logaritmi naturali e. Non vi è
modo di rappresentare questi numeri per mezzo di frazioni, per quanto complicate
queste possano essere.
Cercare di scrivere il numero pigrego come una sequenza di cifre (3.14159 ... )
implica sempre un certo grado di approssimazione, dato che la sequenza a un
certo punto deve essere troncata. Se si usa un calcolatore per generare un
numero sempre maggiore di decimali di pigreco ci si accorge che nessuna sequenza si
ripete periodicamente (contrariamente a quanto avviene per l'espansione decimale
di una frazione). Sebbene questo fatto possa essere direttamente verificato
solamente fino a un numero finito di cifre decimali, si può dimostrare che non
può comunque manifestarsi nessuna periodicità sistematica. In altre parole, le
cifre decimali di pigreco costituiscono una sequenza del tutto irregolare.
Tornando ora all'aritmetica binaria, possiamo affermare che tutti i numeri fra 0
e 1 possono essere espressi da sequenze infinite di 1 e di 0 (dopo il punto
decimale). Viceversa, qualsiasi sequenza di 1 e di 0, qualunque sia la
combinazione che scegliamo, corrisponde a un punto dell'intervallo.
Siamo ora giunti al punto chiave per quanto concerne la casualità. Immaginiamo
una moneta con uno 0 su una faccia e un 1 sull'altra.
Lanci successivi della moneta produrranno una sequenza di cifre, ad esempio
010011010110... Se avessimo un numero infinito di monete potremmo generare tutte
le infinite sequenze di cifre, e quindi tutti i numeri compresi fra 0 e 1. In
altre parole, possiamo ritenere che i numeri fra 0 e 1 rappresentino tutti i
possibili risultati di infinite sequenze di lanci di monete. Ma dato che siamo
pronti ad accettare il fatto che il lancio di una moneta è un evento casuale, le
successive apparizioni di 1 e di 0 in una determinata espansione binaria sono
casuali quanto il lancio di una moneta. Trasferendo questo concetto al moto
della particella, si può affermare che i suoi salti sono casuali quanto
i successivi lanci di una moneta.
Lo studio della teoria dei numeri rivela un'altra importante caratteristica di
questo processo. Consideriamo una sequenza di cifre finita, diciamo 101101.
Tutti i numeri binari fra 0 e 1 che cominciano con questa particolare sequenza
si trovano in una ristretta zona dell'intervallo delimitata dai numeri
101101000000... e101101111111... Se scegliamo una sequenza più lunga, viene
circoscritta una zona più ristretta. Più lunga è la sequenza, più ristretto è
l'intervallo. Al limite, se la sequenza diventa infinitamente lunga la zona
delimitata si restringe fino ad annullarsi, specificando così un singolo punto
(e cioè un numero).
Ritorniamo ora al comportamento della particella. Se la sequenza di cifre scelta
come esempio, 101101, compare da qualche parte nell'espansione binaria della sua
posizione iniziale, a un certo punto la particella finirà per saltare
nell'intervallo di cui sopra. Un risultato simile naturalmente vale per
qualsiasi sequenza finita di cifre.
Ora si può dimostrare che ogni sequenza finita di cifre si presenta in qualche
punto dell'espansione binaria infinita di ogni numero irrazionale
(rigorosamente, con qualche eccezione isolata). Ne consegue che se la particella
parte da un punto specificato da un qualunque numero irrazionale (e la maggior
parte dei punti dell'intervallo è specificato da numeri irrazionali), prima o
poi essa dovrà necessariamente saltare nella ristretta regione specificata da
una qualunque arbitraria sequenza di cifre. Quindi è certo che la particella
andrà a visitare ogni regione dell'intervallo, per quanto ristretta essa sia, in
un qualche istante del processo.
Ma si può andare oltre. Una qualsiasi sequenza di cifre non solo si presenta in
qualche punto dell'espansione binaria di (quasi) tutti i numeri irrazionali, ma
lo fa infinite volte. Nei termini di salti della particella, ciò significa che
quando la particella salta fuori da un particolare intervallo del segmento di
linea, sappiamo che prima o poi vi ritornerà e la cosa continuerà a ripetersi.
Poiché questo fatto è vero comunque piccola sia la regione interessata, e dato
che si applica a una qualsiasi di tali regioni in un punto qualunque
dell'intervallo, si verificherà che la particella visiterà ogni parte del
segmento ripetutamente: non ci sono lacune. Tecnicamente questa proprietà è nota
come ergodicità e costituisce l'assunzione chiave che deve essere fatta in
meccanica statistica per assicurare un comportamento realmente casuale. Lì viene
giustificata facendo appello al grande numero di particelle in gioco; qui,
incredibilmente, emerge automaticamente come una proprietà del moto di una
particella singola.
L'asserzione che il moto della particella è realmente casuale può essere
rinforzata con l'aiuto di una branca della matematica nota come teoria della
complessità algoritmica, la quale fornisce un mezzo per quantificare la
complessità di una sequenza infinita di cifre sulla base della quantità di
informazioni necessarie a un calcolatore per generarla. Alcuni numeri, anche se
coinvolgono un'espansione binaria infinita, possono essere specificati da
algoritmi per calcolatore finiti. In effetti il numero pigreco appartiene a questa
classe, a dispetto dell'evidentemente infinita complessità della sua espansione
decimale. Tuttavia, la maggior parte dei numeri richiede, per la sua
generazione, una quantità di informazioni infinita per la programmazione dei
calcolatore, e può perciò essere considerata infinitamente complessa. Ne
consegue che la maggior parte dei numeri è effettivamente non specificabile,
totalmente non predicibile e completamente incalcolabile! Le loro espansioni
binarie sono casuali nel senso più completo. Chiaramente, se il moto di una
particella è descritto da un tale numero è a sua volta effettivamente casuale.
li semplice esempio della particella saltatrice ha avuto l'utile scopo di
chiarire la relazione esistente fra complessità, casualità, predicibilità e
determinismo. Ma ha importanza per il mondo reale? Sorprendentemente, la
risposta è si.
