pp_4

5. Alcune conclusioni

nell’intervallo (0,Rn) gli elementi dell’insieme PP(2..n) sono disposti specularmente rispetto a Rn/2, pertanto sono complementari a coppie (la somma degli elementi di ogni coppia è Rn), con la limitazione della proprietà 6.1; se Rn<p2,47 gli elementi di PP(2..n) dell’interval-lo (0,Rn) sono tutti numeri primi; se p2<Rn gli elementi di PP(2..n) cancellati in (0,Rn) dal ciclo p sono quelli corrispondenti a p2, p·q, ..., p·s con s<Rn/p e con q, ..., s PP(2..n); tali cancellazioni sono dotate della medesima sequenza e ciclicità degli elementi di PP(2..n) maggiori di p per definizione (algoritmo 2), ma espansa in ragione del fattore p, perciò non godono di simmetrie di posizione e quindi di specularità nell’intervallo (0,Rn);48 le stesse considerazioni valgono per tutti gli elementi i di PP(2..n) con p<i<x se i2<Rn<x2;

a.1.

le ricorrenze delle cancellazioni (algoritmo 2 e nota 15) sono cicliche, ma il ciclo è perfetto solo nell’insieme PP(2,3) (ciclo di periodo Rn=3·2); poiché le cancellazioni che determinano l’insieme PP(2..5) secondo l’algoritmo 2 dipendono dagli elementi di PP(2,3), esse si susseguono secondo i cicli degli elementi di PP(2,3) moltiplicati per 5 a partire da 52, ma escludendo gli elementi di PP(2,3) che contengono già 5 a fattore; e così via per gli altri sottoinsiemi di cancellazioni.49 Le ciclicità sono quindi del tutto diverse – ma solo nel senso che il loro periodo è scalato – e presentano un numero crescente di vuoti a causa delle ricorrenze comuni ai cicli precedenti;50 inoltre per ogni n il primo ciclo di cancellazioni è tronco da 0 a n2 avendo inizio con quest’ultimo valore;

a.2.

affinché nessuno dei numeri primi di un intervallo (0,2N) sia speculare di un altro numero primo dello stesso intervallo rispetto a N, è necessario e sufficiente che le ricorrenze delle cancellazioni siano nell’intervallo (0,2N) in numero maggiore o uguale alla metà degli elementi di PP(2..n) dell’intervallo, e che, qualora alcune di esse siano speculari tra loro, i rimanenti di tali elementi siano contro-speculari (rispetto a N) di cancellazioni in (0,2N); facendo riferimento all’insieme PP(2,3), è necessario e sufficiente che le cancellazioni in (0,2N) raggiungano almeno il numero di N/3 se non formano coppie speculari.51 Le considerazioni puramente quantitative sono quindi insufficienti, e la condizione da mostrare è quella della piena contro-specularità nell’intervallo indipendentemente dalla quantità di cancellazioni e dalla loro possibile specularità intorno a N, che variano con N secondo una legge di natura dinamica.52

nell’ipotesi conclusiva del punto a.2 e tenuto conto delle del tutto diverse (come periodo) e interferenti ciclicità del sistema di cancellazioni,53 anziché dimostrare che tutti i numeri interi positivi sono la media di almeno una coppia di numeri primi, è più utile cercare di mostrare che affermare il contrario conduce a dei paradossi;

analisi dell’ipotesi a.2. Una perfetta contro-specularità esiste certamente rispetto a Rn/4 (proprietà 5), ed entro (0,Rn) fra i due intervalli (2,n) e (Rn–n, Rn–2). Quindi, più precisa-mente, la perfetta contro-specularità si verifica sicuramente entro un intervallo (0,Rn/2), dove Rn/2 è un numero dispari (oppure fra i due intervalli estremi di (0,Rn) di estensione n), mentre per rappresentare eccezione rispetto alla congettura di Goldbach dovrebbe verifi-carsi in un intervallo pari. Si mostrerà ora per paradosso che, in base alle proprietà sopra descritte, non esistono numeri pari 2N per i quali valga tale proprietà di totale contro-specularità, quindi che non esistono numeri N che non siano la media di almeno una coppia di numeri primi:

si supponga dunque che l’intervallo (0,2N) sia dotato di contro-specularità interna totale delle ricorrenze di alcune delle cancellazioni54 rispetto a tutti i numeri primi rimanenti nell’intervallo stesso. Si danno allora tre casi apparentemente distinti:

d.1.	2N=Rn. Per quanto concerne gli elementi di PP(2..n), per la proprietà 6.1 nell’intervallo (0,Rn) il sottointervallo (2,n) ha come contro-speculare il sottointervallo (Rn–n,Rn–2); il rimanente sottointervallo (n+1, Rn–(n+1)) di (0,Rn) è privo per definizione di contro-specularità interne. Pertanto le sole cancellazioni che possono dare luogo a contro-specularità nel sottointervallo (n+1,Rn–(n+1)) sono quelle dovute alle ricorrenze in (0,Rn) di multipli di numeri p, q,..., x PP(2..n) a partire da p2 come descritto nell’algoritmo 2. Tali cancellazioni non godono di specularità nell’intervallo (proprietà 11.1). Si consideri inoltre ora l’intervallo (n,x]; l’ipotizzata contro-specularità dell’intervallo [Rn–x,Rn–n) comporta che le ricorrenze suddette in tale intervallo siano minori di Rn di quantità uguali a p, q,..., x, cosa paradossale non essendo tali quantità fattori di Rn (proprietà 4.1 e 11.1). Le stesse considerazioni valgono senza varianti se 2N=k·Rn con k qualunque minore di x;55 in particolare valgono quindi per tutti i multipli di 6, che è il più piccolo fra gli Rn;56
d.2.	Rn<2N<2Rn. Questo caso ha maggiori probabilità di verificare l’ipotesi a.2, perché evade in apparenza dalle simmetrie proprie degli intervalli (k·Rn,(k+1)·Rn). Si dimostra anche in questo caso nell’Appendice 3, mediante un opportuno procedi-mento ricorsivo, che l’ipotesi è paradossale in questo caso e in tutte le sue possibili estensioni o varianti;
d.3.	2N<Rn. Questo caso si può verificare in senso assoluto solo per 2N<2·3, ossia solo per N<3, che è l’intervallo (0,Rn/2) minimo significativo ai fini della presente analisi.57 Ogni altro Ri è multiplo intero di 6. Pertanto, escluso il caso N<3, questo caso ricade sempre nel precedente.

Non potendosi verificare l’ipotesi a.2, vale a dire l’ipotesi di contro-specularità totale in un qualunque intervallo (0,2N),58 allora è vero che ogni numero intero positivo è la media di almeno una coppia di numeri primi.

47.	Cosa che si verifica fino a Rn=30.
48.	Sono speculari in (0,Rp), dato che l’insieme degli Rn che compongono Rp (in numero uguale a p) è speculare intorno a Rp/2, e (0, Rp) è speculare in sé intorno a tale valore dopo le cancellazioni dovute ai multipli di p a partire da p2 (con le limitazioni del punto 6.1). Vedasi anche proprietà 11.2.
49.	La ciclicità è evidenziata nella rappresentazione “a greca” di modulo Rn, in cui le cancellazioni dovute al ciclo n in in-tervalli multipli di Rn si incolonnano per costruzione, con la sequenza e ciclicità degli elementi di PP(2..m) con m numero primo precedente di n (algoritmo 2).
50.	Es.: p2·q2 ricorre nel ciclo p (attivo a partire da p2) ma anche nel ciclo q (attivo a partire da q2), nel quale ultimo non ha quindi effetti di cancellazione, già avvenuta nell’altro ciclo. Come si può vedere nell’Appendice 2, le ciclicità delle can-cellazioni, a meno del fattore n, hanno la medesima architettura, con la differenza che nel ciclo 7 non compaiono le cancellazioni dei prodotti di 7 per i multipli di 5, perché già verificatesi nel ciclo 5; nel ciclo 11 non compariranno quindi i prodotti di 11 per multipli di 5 e di 7 (tutti i multipli di 3 già sono eliminati dalla colonna relativa, che contiene tutti i mul-tipli dispari di 3 per costruzione). Dunque i cicli successivi di cancellazioni, oltre a essere di periodo crescente in ragio-ne del numero primo loro seme, sono sempre più rarefatti a causa dei cicli precedenti di cancellazioni, e tuttavia sono sempre basati sul ciclo degli elementi PP(2, 3). La rappresentazione “a greca” di modulo 2·3 è la più significativa ai fini della visualizzazione della distribuzione delle cancellazioni degli elementi di PP(2,3) e quindi della distribuzione dei numeri primi. Altre “greche”, es. quella di modulo 30 (2·3·5) ecc. sono utili alla visualizzazione delle simmetrie di cui al punto 4 e dell’eccezione 6.1, ma non altrettanto della ciclicità espansa di ogni serie di cancellazioni.
51.	Cosa che accade sempre se N contiene anche fattori diversi da 2 (proprietà 4.2). Le coppie di elementi di PP(2,3) speculari nell’intervallo (0,2N) secondo la proprietà 13.1, che è la condizione peggiore, sono N/3, e le cancellazioni devono essere in pari numero affinché sia perlomeno numericamente possibile la piena contro-specularità. D’altra par-te le cancellazioni sono proprio cancellazioni di elementi di PP(2,3); ma, anche se sono in numero maggiore degli e-lementi residui di PP(2,3), possono essere speculari tra loro, quindi la condizione numerica è da sé insufficiente: N/3 è perciò solo il minimo necessario di cancellazioni entro (0,2N) dal punto di vista puramente quantitativo.
52.	Non predittiva (nota 13).
53.	Vedasi nota 50.
54.	È chiaro che per “cancellazione” si intende ormai solo un numero dispari non primo.
55.	In questo caso aumenta necessariamente x e con esso Rx, allargando ulteriormente l’intervallo di paradossalità.
56.	E del quale sono composti tutti gli Rx. Tuttavia le considerazioni dell’Appendice 3 si applicano anche a questo primo caso (2N=Rn), rendendolo un caso particolare del seguente caso d.2. Più precisamente, applicando il metodo di tale appendice si verifica il paradosso secondo cui elementi intrinsecamente speculari intorno a Rn devono anche essere contro-speculari intorno a Rn, coincidendo 2N con Rn.
57.	E che contiene come “anomalia” il numero 2, già escluso dalla discussione con tutti i suoi multipli, ma solo per comodi-tà. In realtà, infatti, in senso per così dire epistemologico, ogni numero primo è una “anomalia” nell’insieme dei numeri primi, comparendo una sola volta nell’insieme stesso, e cancellando dall’insieme dei numeri “naturali”, con la propria comparsa, tutti i propri multipli. Si potrebbe dire che l’insieme “non-anomalo” dei numeri “naturali” esiste solo perché esiste l’insieme “anomalo” dei numeri primi, come dire, senza estrapolazioni filosofiche ma con qualche perplessità lo-gica, che la norma che regge l’insieme dei numeri “naturali” esiste solo come architettura di anomalie.
58.	È possibile, naturalmente, che la contro-specularità si verifichi in forma parziale grazie alle ricorrenze dei multipli di x in (0,Rn), ma in modo tale che nell’intervallo (0,Rx) sia rispettata le proprietà 4, ossia che, con la sola eccezione definita dalla proprietà 6.1, gli elementi di PP(2..x) siano speculari di altri elementi di PP(2..x) e le cancellazioni siano speculari di altre cancellazioni rispetto a Rx/2. E questo fatto non ammette mai una perfetta contro-specularità in alcun intervallo [0, (k+1)·Rn], con k = 0, 1, 2, ..., x–1 né in alcun intervallo (0,2N) in essi contenuto, come appena mostrato.

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