Si considerino per ora solo gli elementi di PP(2..n). Nell’intervallo (0,2N) si assegnino delle etichette agli elementi a destra di N; specularmente, a sinistra di N, si assegnino le stesse etichette con l’indice “c” agli elementi per ipotesi contro-speculari dei precedenti;62 si tratta solo di numeri dispari, appartenendo a PP(2) per ipotesi; sia S0 l’insieme, così etichettato, di tutti gli elementi di PP(2..n) in (0,2N);

si costruiscano ora gli elementi speculari, sia rispetto Rn/2 sia rispetto Rn, degli elementi dell’intervallo (0,2N),63 ossia di S0, e si assegnino a tali elementi, in ordine appunto spe-culare, le stesse etichette assegnate agli elementi di S0, eventualmente ma non neces-sariamente con indice “s”;64 la proprietà 4 impone che questo nuovo insieme S1, specu-lare di quello originario, esista come appena descritto, con il solo vincolo 6.1;

mediante gli elementi dell’insieme S1 si costruiscano ora gli intervalli contro-speculari intorno a N, individuando un nuovo insieme S2; nelle ipotesi poste, S2 deve esistere come descritto, senza anomalie; più precisamente S0, S1, S2 devono coesistere e, nell’ipotesi posta, coincidere;

si ripeta il medesimo processo speculando ora gli elementi di S2 intorno a Rn/2 e Rn, ottenendo S3, e si contro-speculino poi gli elementi di S3 intorno a N; e così via; naturalmente i simmetrici di simmetrici perdono l’eventuale indice “s” ma senza cambiare valore binario, così come i contro-speculari di contro-speculari perdono l’indice “c”, ossia cambiano valore binario;65

i paradossi che si manifestano seguendo questo procedimento sono numerosi e si pre-sentano quasi sempre al secondo passo, con la sola eccezione di particolari posizioni,66 ma la formalizzazione di tutta la casistica, essendo N a priori indefinito, non è evidentemente praticabile. È conveniente quindi considerare un caso singolare che si verifica tuttavia sempre, per qualunque N e per qualunque Rn, nell’ovvio assunto che basti una sola conclusione paradossale per invalidare l’ipotesi, anche se in realtà le conclusioni paradossali sono di diversi tipi. A titolo indicativo o qualitativo, prima di entrare nel caso particolare, si possono rilevare i seguenti paradossi;

se quindi si considerano i soli elementi di PP(2..n), basta il paradosso 4.5 per rendere evidente l’assurdità dell’ipotesi di partenza di totale contro-specularità intorno a N dell’intervallo (0,2N);

se ora si considerano anche le cancellazioni in (0,2Rn) dovute a multipli di elementi x>n ricorrenti in (0,2Rn), ossia gli elementi di PP(2..x), la simmetria è alterata in (0,2Rn) a causa della proprietà 7; In tal caso le contro-specularità ipotetiche in S0 sono proprio causate da tali cancellazioni, pertanto S1, la cui specularità è stata costruita intorno a Rn e Rn/2 e basandosi su elementi di PP(2..n), non è più necessariamente speculare di S0;68 quindi il processo applicato fin qui non sembra più applicabile con adeguata genera-lità. Tuttavia il ragionamento può spostarsi ora sull’intervallo (0,Rx) come definito dalla proprietà 11.2, ossia si possono considerare l’intervallo (0,2N) e l’intervallo (Rx–2N,Rx) e procedere applicando alternativamente la specularizzazione intorno a Rx/2 e la contro-specularizzazione intorno a N e a Rx–N; i risultati – in particolare il paradosso del caso 4.5 dato che le cancellazioni in esso previste (multiple di 3) sono sempre presenti a cavallo di ogni Ri –, non possono che essere gli stessi, dal momento che gli intervalli (0,Rn) e (Rx–Rn,Rx) sono speculari con la medesima eccezione 6.1, ed essendo fra loro speculari i due immediatamente più interni (e via via a coppie quelli più interni, rimanendo disaccoppiato solo quello intermedio, il quale però è internamente speculare per la proprietà 11.1);

se si estende l’osservazione a valori di N tali che k·Rn<2N<(k+1)·Rn con k qualunque minore di x–2, il ragionamento sussiste senza varianti dato che le simmetrie interne degli elementi PP(2..n) si ripetono per ogni intervallo di ampiezza Rn a partire da zero; aumenta solo il numero di elementi di x interessati e dei loro multipli, e con essi di Rx, e aumenta l’estensione dell’intervallo multiplo di Rn che contiene 2N, senza che le relative proprietà, e quindi le corrispondenti considerazioni, possano modificarsi;

La circostanza che nell’intervallo (0,2N), perché l’ipotesi posta sia pienamente soddis-fatta, debbano verificarsi paradossi di vario tipo, in particolare il decisivo paradosso 4.5 (confermato più in generale dal punto 6), e il fatto che ciò invalidi l’ipotesi stessa, non impediscono che possa verificarsi un certo numero di contro-specularità nell’intervallo (0,2N), specie al crescere di x e quindi dei cicli dei relativi prodotti. Le presenti consi-derazioni provano perciò soltanto che non può esistere contro-specularità totale nell’in-tervallo stesso. Per questa ragione è corretto sostenere che esiste almeno una coppia di numeri primi speculari secondo la definizione rispetto a qualunque elemento dell’insieme dei numeri interi positivi.69

62.

Le etichette sono evidentemente variabili booleane i cui valori possono essere solo “primo” e “non primo”. In sostanza si possono considerare gli N–1 elementi a destra di N come un singolo numero binario in cui la cifra 1 indica un numero primo e la cifra 0 un numero non primo; gli N–1 elementi a sinistra saranno rappresentati dallo stesso numero negato cifra per cifra e disposto simmetricamente al primo:
es. ...01001 N 01101...
Naturalmente possono esserci zeri in posizioni simmetriche, ossia numeri non primi in eccesso rispetto ai numeri primi (tutti i numeri pari si trovano sempre in tali condizioni). L’indice “c” in una certa posizione, in altri termini, corrisponde alla negazione del valore binario disposto in posizione simmetrica rispetto a N.

63.

Quindi parzialmente sovrapposti a questi ultimi, ed estendentisi solo fino a 2N. La parziale sovrapposizione non impli-ca di per sé contraddizioni, trattandosi di variabili booleane, ma delle contraddizioni possono già manifestarsi dopo questo primo passo, eventualmente emendate dall’anomalia 6.1.

64.

Non necessariamente perché, per specularità intorno a Rn/2 e Rn, conservano il valore binario.

65.

La visualizzazione di questa costruzione su righe successive di una tabella può aiutare a rendere evidenti i paradossi che via via emergono.

66.

Quelle che ammettono già in partenza elementi speculari rispetto a Rn e Rn/2, ma anche contro-speculari rispetto a N, che non potranno quindi subire mutamenti lungo il processo.

67.

Scompare infatti il fattore 2 di Rn.

68.

Se lo è, ossia se le cancellazioni si presentano simmetricamente a Rn, non è tuttavia garantito che vi sia simmetria an-che rispetto a Rn/2, trattandosi di ricorrenze che non hanno fattori di Rn. In altri termini, la costruzione precedente, che riguardava i soli elementi di PP(2..n) di (0,2Rn), potrebbe portare anche in questo caso al paradosso, ma non necessariamente.

69.

Come precisazione conclusiva, entro (0,2N), oltre alla ipotizzata contro-specularità, possono esistere, senza inficiare l’ipotesi, delle specularità di cancellazioni, che non entrano nella discussione. L’ipotesi dice infatti: in (0,2N) esistano dei numeri primi, senza poter precisare quanti non essendo fissato N, ed esistano dei numeri non primi; ebbene, piena contro-specularità significa che ciascun numero primo trova in (0,2N) un numero non primo complementare a 2N, le altre complementarità essendo fra numeri dispari non primi (e ovviamente fra numeri pari).