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7. Appendice 2

1

La rappresentazione “a greca” può avere qualunque modulo, in particolare Rn, ma il più signifi-cativo, ai fini della visualizzazione dell’effetto dei cicli di cancellazioni, è il modulo R3=2·3, es-sendo l’insieme PP(2,3) l’unico insieme di primi potenziali “perfetto”. La costruzione della “greca” di modulo Rn consiste nel disporre nella prima riga i primi Rn numeri interi positivi (incluso lo zero), crescenti da sinistra a destra; nella seconda riga, sotto i primi Rn numeri, si riportano i successivi Rn numeri e si continua la numerazione contando ora da destra verso sinistra fino a 2Rn, che si situa quindi sotto lo zero. E così via, come nelle tabelle seguenti per il caso Rn = R3 = 6:

I multipli di 3 risultano incolonnati nelle colonne 3 e 6, mentre gli elementi PP(2,3) risultano tutti incolonnati sotto 1 e 5, dato che le altre colonne o sono pari o sono appunto multipli di 3.
Nella “greca” di sinistra si sono indicate con sfondo nero anche le ricorrenze dei multipli di 5 a partire da 52, che risultano disposte regolarmente (senza “anomalie”) simmetricamente intorno ai multipli di 2·3·5; le ricorrenze pari e multiple di 3 risultano infatti automaticamente escluse, non appartenendo alle colonne 1 e 5.
Nella “greca” di destra, identica alla precedente, si sono indicate con sfondo nero le ricorrenze dei multipli di 7 a partire da 72, che risultano a loro volta disposte con la medesima regolarità, sia pure scalata in ragione del fattore 7, ma con anomalie dovute al fatto che i prodotti di 7 per multipli qualunque di 5 sono già tenuti in conto nel ciclo 5 (esempio: 175=52·7); le “anomalie” sono indicate in grassetto corsivo su fondo nero.
Si osserva che la forma “a greca” si conserva, dilatata in ragione di n, anche nelle ricorrenze di 5 e 7, e questo fatto è generale quanto ovvio in una rappresentazione di questo tipo; al crescere di n aumenta solo il numero di “anomalie” dovute al fatto che le cancellazioni dei prodotti di n per numeri primi minori di n si sono già verificate nei cicli di cancellazioni dei numeri primi stessi.
Assunta come asse la colonna del 3, le ricorrenze significative di multipli dispari di n si dispon-gono sulle colonne 1 e 5 ai vertici di una “funzione” trapezoidale periodica di periodo (2·3)·2n (sempre fatte salve le esclusioni dovute ai cicli dei numeri primi minori di n) e ampiezza 4.59 La ragione di ciò risiede nel fatto che 2·3=Rn è il passo necessario a queste ricorrenze per cadere nelle colonne degli elementi di PP(2,3) a partire da n, e nel fatto che esse distano fra loro alternativamente di 2n e 4n, essendo escluse le ricorrenze dispari multiple di 3 e quelle pari. Di fatto esse si dispongono lungo una “greca” dilatata rispetto a quella originale in ragione del passo n, ma nella quale sono eliminate le ricorrenze che non cadono nelle colonne 1 e 5.60 L’“aritmia” dei numeri primi è dunque effetto di cancellazioni di elementi di PP(2,3) che sono di natura in sé “ritmica” in quanto essenzialmente periodica. In una siffatta rappre-sentazione, che si limita in realtà a evidenziare una poliritmia, la verifica del fatto che i numeri pari possano essere sempre la media di almeno una coppia di numeri primi dipende dunque dall’analisi delle cancellazioni, della loro architettura e dei suoi “vuoti”, anziché dei numeri primi in sé.61

2

Per le stesse ragioni sopra esposte, se si costruiscono “greche” di modulo 2·(p+1) a partire da zero e di estensione verticale 2k·p, le ricorrenze dei multipli di p si situano sulle diagonali dei quadrati contigui di dimensioni p·p. In tali “greche” gli elementi primi potenziali si dispongono in colonna perché in tali costruzioni tutti i numeri dispari sono necessariamente incolonnati. La disposizione in diagonale delle cancellazioni si spiega ovviamente perché nel caso di “greca” di modulo p i multipli di p si dispongono necessariamente in colonna, quindi se la “greca” aumen-ta di un passo la propria larghezza le ricorrenze si sfasano di due passi a ogni ciclo, disponen-do quindi le ricorrenze su colonne alterne essendo già su righe alterne, quindi si dispongono esattamente in diagonale. Segue un esempio per p=7, ma il meccanismo è della massima generalità:

Poiché il modulo dell’esempio contiene i fattori 3 e 5, i multipli di tali numeri sono necessaria-mente incolonnati. I numeri primi potenziali si situano quindi tutti nelle colonne 1, 7, 11, 13, e l’intervento del ciclo 7 causa le cancellazioni indicate, notando che il modulo 15 è R5/2, ossia incolonna tutti gli elementi di PP(2,3) dell’intervallo considerato, ossia (0,210) nell’esempio, osservando che 210=R7. In altre parole, in ogni quadrato “a greca” di lato 2p, contenuto nel rettangolo 2(p+1)·2p, il quadrato costruito congiungendo i punti medi dei suoi lati è il luogo dei multipli di p nell’intervallo 2·M·p, con M=2p+1 modulo della “greca”.
Questo è naturalmente solo un modo più specifico di indicare quanto già osservato al punto 1 di questa appendice sulla sola “greca” di modulo 6 in cui, in una forma analoga, la diagonalizzazione delle ricorrenze si verifica con inclinazione crescente, dato che il modulo è costante. In quest’altro tipo di rappresentazione a modulo variabile si tratta sempre di diagonali di quadrati di lati p·p, che si ripetono identici a ogni duplicazione in larghezza e/o in altezza della “greca”.

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