Analisi sperimentale

Dalla relazione 4.5.13 si vede che la fase assoluta accumulata nel passaggio attraverso le tre lamine è la quantità evidenziata con $\delta$, dove come si è visto,

$$\delta=\beta L_2 \:\:\:\; \beta=\frac{2 \pi}{\lambda}\Delta n \; ,$$

con $L_2$ si indica lo spessore dell lamina centrale, e con $\beta$ la costante di propagazione dipendendente dalla differenza tra gli indici di rifrazione nei due assi. La relazione trovata analiticamente contiene pertanto tutte grandezze note a temperatura costante, a meno della quantità $\delta$.

Ancora una volta facendo convergere la relazione analitica verso una delle curve misurate a temperatura costante, minimizzando la media quadratica dell'errore, si trovano i vari valori di $\delta$ alle diverse temperature.

La relazione che descrive la dilatazione termica della calcite, per intervalli di temperatura inferiori al centinaio di gradi, è una relazione lineare nel coefficiente di dilatazione termica $\alpha$,

$$\Delta L= \alpha L \Delta T$$ (4.5.14)

dove con $L$ si indica lo spessore della lamina e con $\Delta T$ la variazione di temperatura.

Utilizzando la relazione 4.5.14, il valore tabulato di $\Delta n$ e la lunghezza d'onda consueta, si verifica che i valori di fase assoluta misurati alle diverse temperature sono compatibili con la relazione di dilatazione termica.

Figura 4.8: Andamento del DGD per configurazione a tre lamine 0-var-0 al variare della temperatura ambiente

Possiamo concludere che la variazione della temperatura ambiente, anche per scostamenti di pochi gradi, determina la dilatazione delle lamine stesse, pertanto altera il comportamento del sistema. Si potranno pertanto prevedere i valori di DGD e SOPMD in uscita con la precisione richiesta solamente a condizione di conoscere la temperatura ambiente.

Sono state svolte dieci sessioni di misura, a temperatura ambiente controllata, per valori compresi tra $21.3$ e $28.3$ gradi centigradi. Per ogni sessione di misura sono stati misurati i DGD in uscita dal sistema tre lamine al variare dell'angolo associato alla lamina centrale nell'intervallo $[0, 180]$ gradi, con spaziatura di dieci gradi.

Dopo aver implementato in ambiente $Matlab^\circledR$ la relazione 4.5.13, la stessa è stata fatta convergere in media quadratica verso ogni serie di valori di DGD, ottenendo il valore di fase assoluta $\delta$ associata alla determinata temperatura.

I valori di temperatura e di fase sono evidenziati in tabella 4.8, con il relarivo errore di interpolazione medio espresso in percentuale rispetto al valore medio della curva teorica.

Tabella 4.8: Fasi assolute calcolate al variare della temperatura per sistema a tre lamine

Misura	Temperatura ($^\circ C$)	Fase Assoluta ($^\circ$)	Errore interpolazione (%)
4	21.3	190.187	1.086
3	21.5	190.727	1.502
2	21.8	191.919	1.171
1	22.1	192.599	1.048
5	22.8	199.991	0.758
6	24.5	226.124	1.008
8	25.0	241.736	0.422
9	26.0	256.199	0.441
10	27.5	279.896	0.991
11	28.3	292.158	1.030

Scelto come riferimento il valore di fase misurato alla temperatura minore, sono stati calcolati gli scostamenti di fase dovuti a variazione di temperatura, pertanto

$$\delta_i-\delta_{rif}=\beta(L_i-L_{rif})=\beta \Delta L .$$ (4.5.15)

Esprimendo la variazione di spessore mediante la relazione lineare di espansione termica della calcite, si ottiene la relazione

$$\delta_i-\delta_{rif}=\beta \Delta L=\frac{2 \pi}{\lambda} \Delta n \alpha L \Delta T$$ (4.5.16)

da cui si può trovare la variazione di spessore e verificare il valore del coefficiente di dilatazione termica.

Dalle misure svolte risulta che per la lamina in questione il valore del coefficiente di dilatazione termica risulta ancora maggiore di quello riportato dal produttore; infatti l'andamento della variazione di fase assoluta risulta pressochè lineare rispetto alla temperatura, tuttavia la retta che interpola tale andamento è caratterizzata da un coefficiente angolare maggiore.

Figura 4.9: Andamento del DGD al variare della temperatuta per configurazione a tre lamine 0-var-0, confronto tra i valori misurati e curve interpolate con il metodo dei minimi quadrati.

Il valore riportato in appendice del coefficiente $\alpha$ è pari a $24.8 \;10^{-6}\;\;[K^{-1}]$, il valore determinato dalle misure risulta pari a $33.4 \;10^{-6}\;\;[K^{-1}]$.

Si può pertanto concludere che le prestazioni dell'emulatore sono fortemente condizionate dalla temperatura ambiente, che determina una variazione di spessore delle lamine stesse di qualche frazione di micron per grado centigrado. Seppur tale variazione di spessore possa sembrare trascurabile, al paragrafo precedente abbiamo dimostrato che in taluni casi la derivata del DGD rispetto all'incertezza sullo spessore, assume valori considerevoli, determinando variazioni considerevoli di DGD anche per piccoli scostamenti di spessore e quindi di temperatura.

Per ottenere misure ripetibili e stabili consistenti col valore teorico è necessario mantenere lo strumento in ambiente termostatato.

In alternativa, per rendere lo strumento più robusto rispetto alle variazioni di temperatura si può scegliere di utilizzare lamine in vanadiato d'ittrio ($YVO_{4}$) che presentano un coefficiente di dilatazione termica sei volte inferiore a quello della calcite, seppur mantenendo caratteristiche di birifrangenza simili a quelle della calcite.

Figura 4.10: Fasi assolute misurate al variare della temperatura confrontate con la retta delle fasi teoriche ottenute con dilatazione lineare della lamina in calcite e coefficiente $\alpha$ tabulato in appendice (retta a tratteggio), confrontato con $\alpha _i$ coefficiente di espansione termica estrapolato dalle misure si fase (retta continua)

In questa sede non è stata svolta un'analisi riguardo l'influenza della temperatura sui supporti in $Anticorodal^\circledR$, tuttavia si può ipotizzare che le caratteristiche di birifrangenza e di dilatazione termica possano cambiare se il cristallo viene sottoposto a pressione.

Le caratteristiche fisiche dell' $Anticorodal^\circledR$, tabulate in appendice, mostrano che tale lega presenta un coefficiente di dilatazione termica non molto dissimile da quello della calcite, pertanto si potrebbe supporre, vista la struttura del supporto, che la reciproca dilatazione generi gradienti di pressione sulle superfici laterali del cristallo. Una ditribuzione non isotropa di sforzi, seppur di ampiezza limitata, potrebbe alterare le caratteristiche fisiche e di birifrangenza del cristallo stesso.

Il DGD e il SOPMD sono sensibili allo spessore delle lamine. Variazioni rilevanti nei risultati sono dovute alla lamina centrale del sistema a tre lamine.

Quest'ultimo punto merita una nota: finora abbiamo sempre osservato il comportamento del sistema a tre lamine nella configurazione [0^&cir#circ; 58^&cir#circ; 1^&cir#circ;] per la quale abbiamo trovato le prestazioni peggiori. Di conseguenza tale procedimento ha condotto a limiti molto ristretti (basti pensare alle condizioni richieste dall'equazione 4.1), in termini di valori desiderabili di PMD al primo e al secondo ordine, costituendo quindi un traguardo che può considerarsi solo ipotetico ma che ha costituito la linea da seguire per avere la massima garanzia di ottenere risultati più che accettabili in qualsiasi altra configurazione. A questo punto è possibile presentare il procedimento seguito che ci ha permesso di raggiungere gli obbiettivi elencati poc'anzi. L'attenzione principale è stata rivolta al punto 2 ossia è stato richiesto che tutti i risultati ottenuti mediante simulazione trovassero corrispondenza con quelli forniti dall'emulatore. Tenendo sempre presente questo obbiettivo, l'algoritmo seguito prevede i seguenti passi: Calcolo del DGD e del SOPMD al variare degli angoli della seconda e terza lamina # mediante simulazione. Calcolo del DGD e del SOPMD al variare degli angoli della seconda e terza lamina # mediante emulazione. Ottenute le curve dalle due operazioni precedenti, se ne è calcolato il modulo della differenza che indicheremo come #, con rappresentazione analoga per il SOPMD, e, di questo se ne è memorizzato il valore massimo per ciascun valore di spessore della lamina centrale con passo 0.1?m. Di tutti i risultati ottenuti, ossia tra tutti i massimi ottenuti in corrispondenza di ciascun spessore, se ne è preso il più piccolo. L?algoritmo, a questo punto, ha fornito il valore di spessore corrispondente alla condizione precedente. Alcuni dei suddetti punti meritano dei chiarimenti. Per quanto riguarda la variazione del DGD e del SOPMD in funzione degli angoli della seconda e terza lamina, le misure sono state effettuate in questo modo: lasciando la prima lamina a 0^&cir#circ;, le lamine 2 e 3 venivano fatte ruotare, con passo di 5^&cir#circ;, nell'intervallo [0^&cir#circ; ÷180^&cir#circ;], ma a ciascuna posizione della seconda corrispondeva un'intera rotazione della terza. In pratica si sono effettuate 37*37 = 1369 misure per ciascuna delle quali è stato richiesto il tempo di un minuto; per caratterizzare una sola lamina, quindi, sono state necessarie esattamente 22h 49', tempo che va moltiplicato per le sei lamine di cui si è effettuata la caratterizzazione degli spessori. Tutto questo per sottolineare,come già si era fatto notare nel capitolo 2, quanto sia complesso e dispendioso, in termini di tempo, uno studio fatto direttamente con l'emulatore e, per questo, quanto sia utile riuscire a trovare una corrispondenza tra simulazione ed emulazione in modo da poter ottenere le grandezze richieste direttamente da un simulatore che fornisce i risultati attesi in tempi che, nella peggiore delle ipotesi, rientrano nell'ordine dei minuti. A proposito, invece, del passo utilizzato per lo spessore è facile intuire che la scelta di 0.1?m deriva direttamente dalle osservazioni fatte nel paragrafo precedente in cui si è evidenziato come tale valore fornisse variazioni relativamente piccole di DGD e SOPMD. C?è ancora da aggiungere che la caratterizzazione di ciascuna lamina è stata effettuata puntando l'attenzione sulla lamina centrale come avevamo sottolineato tra le ipotesi di partenza del nostro studio. In pratica, prese le lamine 1,2,3 si è implementato l'algoritmo che, come valore di uscita, ha fornito il valore ottimale di spessore richiesto relativo alla lamina 2. Poi, con tale valore, è stata aggiornata la tabella degli spessori e si è eseguito nuovamente il calcolo considerando la configurazione 2,1,3, dove ora la lamina 1 funge da lamina centrale e per questa sarà fornito il risultato finale. L'algoritmo procede in maniera iterativa alternando la lamina da caratterizzare in posizione centrale e aggiornando man mano i valori di spessore trovati. Un'ultima considerazione riguarda i risultati. Questi sono stati calcolati col metodo che potremmo definire ?della maggiorazione', ossia la quantità # viene calcolata per ogni spessore e di questa se ne memorizza il massimo. Solo dopo aver analizzato tutti gli spessori entro l'intervallo considerato, dei massimi memorizzati se ne prende il più piccolo. Proprio in corrispondenza di tale valore viene fornito il valore di spessore desiderato. Questo metodo permette di ottenere un duplice risultato: Si ottiene il valore dello spessore di ciascuna lamina per cui la differenza di DGD e SOPMD tra valore simulato ed emulato è minima. Viene fornito l'errore massimo che può essere commesso nella condizione desiderata. Sebbene il procedimento sia identico, i risultati cambiano leggermente a seconda che si chieda maggiore precisione al primo o al secondo ordine. Questo non deve stupire visto che le due grandezze in questione sono regolate da equazioni diverse e, come tale, da andamenti diversi in dipendenza dai parametri considerati. Inoltre si può utilizzare tale risultato a proprio vantaggio scegliendo i valori di spessore da considerare nelle future analisi a seconda se la precisione desiderata sia rivolta più al primo o al secondo ordine. Tenendo conto di quest'ultima osservazione si sono voluti riportare entrambi i risultati ottenuti come mostrano le seguenti tabelle.

Il procedimento seguito presenta ottimi risultati anche se i valori di errore massimo riportati nelle precedenti tabelle possono risultare poco accettabili. Si ricordi, infatti, che tali valori corrispondono al massimo del minimo di variazione ottenibile al primo e al secondo ordine e quindi costituiscono, come fatto notare in precedenza, un limite estremo. Inoltre, valutando graficamente l'andamento che presenta la grandezze # e #in funzione dei due angoli di rotazione #, si nota che il valore medio di variazione delle grandezze in questione è sostanzialmente molto basso a parte rari picchi, in corrispondenza di particolari configurazioni, tra i quali compare quello segnalato in uscita dall'algoritmo. A titolo di esempio si riporta nelle figure sottostanti uno degli andamenti rilevati, sia per quanto riguarda l'errore sul DGD sia sul SOPMD. In particolare si tratta dei grafici riguardanti la caratterizzazione della lamina 2. Naturalmente il comportamento riguardante tutte le altre lamine è del tutto analogo. In tal modo siamo portati a concludere che l'obbiettivo principale è stato raggiunto, vale a dire quello di aver trovato un metodo che permetta di ottenere valori di PMD al primo e al secondo ordine di poco discosti dai valori teorici attesi. In qualche maniera questo ci garantisce che, in corrispondenza di qualsiasi configurazione di angoli scelta, i risultati forniti dal calcolatore siano affidabili a parte qualche caso particolare di cui, però, se ne ha pieno controllo in base alle tabelle e ai grafici precedenti. Inoltre è da sottolineare il fatto che se gli studi precedenti sul Second Child PMDAE avevano condotto già a buoni risultati al riguardo, questi però non prevedevano l'applicazione delle equazioni di Sellmeier, su cui invece si è basata l'intera trattazione esposta, e non tenevano conto (o almeno in parte) di altri fattori quali, ad esempio, la variazione del DGD totale del sistema al variare di quello della singola lamina. Un'ultima considerazione: fin dall'inizio del nostro studio si è considerato il sistema composto solo da tre lamine anche se, dove necessario, le caratteristiche proprie delle singole lamine sono state rilevate per ciascuna di esse. Come già si è avuto modo di sottolineare, tale scelta ha riguardato la possibilità di essere facilitati nella visualizzazione dei risultati e di avere maggiore risoluzione in termini di complessità di calcolo e di tempi di attesa. Ciò non toglie che i risultati ottenuti nell'ambito di questa tesi possano essere applicati ed estesi al sistema completo costituito da tutte le sei lamine, previa considerazione del fatto che comunque queste debbano assumere configurazioni tali da poter essere equivalenti ad un sistema a tre lamine. Il fatto di considerare tutte le lamine, infatti, introduce nuove problematiche, che esulano dagli scopi di questa tesi, e lascia ampio spazio alle proposte di sviluppo che potrebbero essere ad esempio: Soluzione del problema dell'allineamento delle lamine. Ricerca di un algoritmo che tenga conto di tutte le variabili in gioco in un sistema a sei lamine (problema quasi impossibile da trattare almeno con i metodi di studio analitici fin qui applicati).