Sviluppo analitico

In questo paragrafo si vuole sviluppare il calcolo analitico del DGD per un sistema a tre lamine, in cui solo la lamina centrale possa ruotare nell'intervallo $[0, 180]$ gradi , mentre la prima e la terza rimangono ferme in posizione zero.

Dapprima si definiscono le costanti di propagazione $\beta$ e $k$, poi si definisce il DGD introdotto da una singola lamina

$$\beta=\vert k_0-k_e\vert=\frac{2 \pi}{\lambda} \Delta n$$ (4.5.1)

$$k=\omega \sqrt{\mu \varepsilon }=\frac{2 \pi}{\lambda} n$$ (4.5.2)

$$\tau=\frac{\beta}{\omega} L= \frac{\Delta n}{c} L$$ (4.5.3)

$$\Delta L= \alpha L \Delta T$$ (4.5.4)

$$\Delta \tau= \frac{\Delta n}{c} \Delta L= \frac{\Delta n}{c} \alpha L \Delta T=\tau \alpha \Delta T$$ (4.5.5)

Nel formalismo di Müller, per un sistema a due lamine birifrangenti il vettore $\mathbf{\Omega}$ di uscita, il cui modulo è il DGD, si scrive nella forma

$$\mathbf{\Omega}_2=R_2 \mathbf {\Gamma}_1+ \mathbf {\Gamma}_2$$ (4.5.6)

dove con $\Gamma_1$ e $\Gamma_2$ si indicano i vettori di uscita rispettivamente dalla prima e seconda lamina, mentre la matrice $R_2$ è la matrice di rotazione della seconda lamina rispetto alla prima, nella forma

$$R_2 = I + \sin(\beta_2 L)(\hat \beta_2 \times)+ (1-\cos(\beta_2 L))(\hat \beta_2 \times)^2 .$$ (4.5.7)

Il DGD del sistema a due lamine si trova svolgendo il calcolo del modulo del vettore $\mathbf{\Omega}_2$, che vale

$$\vert\mathbf{\Omega}_2\vert^2=\vert\mathbf {\Gamma}_1\vert^2+ \vert\mathbf {\Gamma}_2\vert^2+ 2 \mathbf {\Gamma}_2 \cdot R_2 \mathbf {\Gamma}_1$$ (4.5.8)

Nel caso del sistema a tre lamine la relazione risulta lievemente più complicata,

$$\mathbf{\Omega}_3=R_3( R_2 \mathbf {\Gamma}_1+ \mathbf {\Gamma}_2) +\mathbf {\Gamma}_3 .$$ (4.5.9)

Nella configurazione scelta la terza lamina è posta a zero, pertanto la matrice di rotazione $R_3$ diventa in questo caso la matrice identità, e il modulo quadro del DGD si scrive nella forma

$$\vert\mathbf{\Omega}_3\vert^2 = \vert\mathbf {\Gamma}_1\vert^2+\vert\mathbf {\Gamma}_2\vert^2+\ve... ...bf {\Gamma}_2 +2 \mathbf {\Gamma}_3 (R_2 \mathbf {\Gamma}_1+\mathbf {\Gamma}_2)$$

$$= \sum_{i=1}^3 \vert\mathbf {\Gamma}_i\vert^2 + 2 \mathbf {\Gamma}_... ...hbf {\Gamma}_2 + 2 \mathbf {\Gamma}_3 \cdot (R_2 \mathbf {\Gamma}_1)= \tau_3 ^2$$ (4.5.10)

Definendo i versori rispetto all'orientazione degli assi delle tre lamine

$$\mathbf {\hat \Gamma}_1=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \ ... ...{\hat \Gamma}_3=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right)$$

e utilizzando la definizione della matrice di rotazione di Müller si può scrivere l'espressione seguente per il DGD di uscita,

$$\vert\mathbf{\Omega}_3\vert^2 = \sum_{i=1}^3 \vert\mathbf {\Gamma}_i\vert^2 + 2 \mathbf {\Gamma}_1 \cdot \mathbf {\Gamma}_2 +2 \mathbf {\Gamma}_2 \cdot \mathbf {\Gamma}_3 +$$

$$+ 2 \mathbf {\Gamma}_3 \cdot {\mathbf {\Gamma}_1 + \sin (\beta_2 L_... ...thbf {\hat \Gamma}_2 \times \mathbf {\hat \Gamma}_2 \times \mathbf {\Gamma}_1)}$$

$$= \sum_{i=1}^3 \vert\mathbf {\Gamma}_i\vert^2 + 2 (\mathbf {\Gamma}... ...amma}_2 \cdot \mathbf {\Gamma}_3 +\mathbf {\Gamma}_3 \cdot \mathbf {\Gamma}_1)+$$

$$+ 2 \sin (\beta_2 L_2){\mathbf {\hat \Gamma}_2 \cdot (\mathbf {\Gam... ...bf {\hat \Gamma}_2 \cdot \mathbf {\Gamma}_1) \mathbf {\hat \Gamma}_2 -\Gamma_1}$$ (4.5.11)

da cui sostituendo le espressioni dei versori, e utilizzando le note proprietà del calcolo vettoriale si arriva all'espressione dipendente solamente dai DGD delle lamine, dall'angolo della lamina centrale $\theta$, e dallo spessore della lamina centrale,

$$\vert\mathbf{\Omega}_3\vert^2 = \sum_{i=1}^3 \vert\mathbf {\Gamma}_i\vert^2 + 2 (\mathbf {\Gamma}... ...amma}_2 \cdot \mathbf {\Gamma}_3 +\mathbf {\Gamma}_3 \cdot \mathbf {\Gamma}_1)+$$

$$+ 2 (1 - \cos (\beta_2 L_2){(\mathbf {\Gamma}_3 \cdot \mathbf {\hat... ...mma}_2 \cdot \mathbf {\Gamma}_1) - \mathbf {\Gamma}_1 \cdot \mathbf {\Gamma}_1}$$

$$= \sum_{i=1}^3 \vert\mathbf {\Gamma}_i\vert^2 + 2 (\Gamma_1 \Gamma_... ...ta) + \Gamma_2 \Gamma_3 \cos(\theta) )+ 2 \Gamma_3 \Gamma_1 \cos (\beta_2 L_2)+$$

$$+ 2 (1 - \cos (\beta_2 L_2)(\Gamma_3 \Gamma_1 \cos^2(\theta)) .$$ (4.5.12)

Riordinando i termini e raccogliendo a fattor comune si ottiene la relazione analitica per il DGD in uscita, indicando con $\delta=\beta_2 L_2$ la fase assoluta della lamina centrale. É evidente che l'unico termine dipendente dallo spessore della lamina centrale è la quantità $\delta$ appena introdotta, che ci permette di calcolare lo spessore della lamina centrale a partire da misure di DGD,

$$\vert\mathbf{\Omega}_3\vert^2 =\sum_{i=1}^3 \vert\mathbf {\Gamma}... ...cos (\theta) +2 (1 - \cos^2 (\theta)(\Gamma_3 \Gamma_1 \cos(\delta))= \tau_3 ^2$$ (4.5.13)