Colorazione di base

Finalmente siamo riusciti a capire come si creano gli insiemi di Mandelbrot e di Julia. Adesso, dobbiamo capire come si fanno ad ottenere tutte quelle stupende immagini; in altre parole, come facciamo a creare tutte quelle immagini colorate.

Ovviamente potremo mettere noi dei colori dove vogliamo, ma in questo senso perderemmo la "matematicità" (?) del disegno. Si usa colorare invece, questi frattali in determinate maniere: si prende un punto del piano complesso e, a seconda di alcune sue caratteristiche o proprietà matematiche, si colorano i punti in modo diverso. Questi metodi si chiamano di solito algoritmi di colorazione.

Di questi algoritmi ce n'è un'infinità, e vanno da semplici proprietà a formule che un comune mortale non è in grado di concepire, per cui dirò solamente alcune cose fondamentali.

Un semplice algoritmo di colorazione è quello basato sul bailout e sul numero d'iterazioni: stabiliamo un certo numero di colori, ed ad ognuno di essi associamo un numero: diciamo

0 = bianco
1 = blu

Ora prendiamo un punto del piano complesso, ed iteriamolo: supponiamo che sia esterno all'insieme. iterandolo, allora, dopo n cicli (o iterazioni) il suo modulo sarà maggiore del valore di bailout, e a questo punto l'iterazione cessa.

Vediamo quanto vale il numero n, cioè quante iterazioni sono state necessarie: se è pari, associeremo a quel punto il colore blu, altrimenti, se è dispari, lo coloreremo di bianco. Otteniamo, con questo semplicissimo algoritmo, l'immagine a destra.

Possiamo anche creare un altro semplice algoritmo di colorazione, basandoci questa volta sugli angoli. Dopo che l'iterazione fa sì che |z_n| > bailout, allora controlla la "fase" del numero complesso, cioè l'angolo che forma il segmento che unisce origine del piano complesso e punto rispetto all'asse reale. Se è compreso fra 0 e pigreco, allora si colora in un modo, altrimenti lo colora di un'altro colore. Dato che non c'entra il modulo nel calcolo del colore, può essere applicato anche per colorare l'interno dell'insime di Mandelbrot, applicando la regola quando l'iterazione raggiunge il tetto massimo.

Questi tipi di colorazioni sono tipiche. Ci sono molte altre elaborazioni che permettono, ad esempio, di avere dei passaggi sfumati di colore fra una zona e l'altra. Comunque rappresentano la preistoria degli algoritmi di colorazione.

Un metodo più recente, ad esempio, è usato nel programma Ultrafractal e si chiama Orbit Traps (ideato da Damien M. Jones con la collaborazione di altre persone). Si basa su un concetto abbastanza semplice: prendiamo una forma (per esempio, un cerchio, un punto, una linea etc), e disegnamola nel piano complesso. Poi prendiamo un punto, e facciamolo iterare. Per ogni iterazione, vediamo la distanza di questo punto con la figura; alla fine dell'iterazione, vediamo qual'è la minima distanza che il punto ha avuto dalla figura durante l'iterazione, e coloriamolo di conseguenza. Chiaro? Ovviamente ci sono una infinità di possibili varianti, ma il concetto base dovrebbe essere stato chiaro.

Una delle cose interessanti è che possiamo associare un colore ad ogni distanza: variando quest'ultima con continuità, possiamo ottenere delle colorazioni morbide. Per esempio, consideriamo l'intervallo che va da 0 ad 1, e sovrapponiamoci un gradiente di colore, come sotto.

Allora, al variare della distanza da 0 a 1, anche il colore varierà con continiutà: ma c'e di più: se considero solo la parte decimale della distanza (che varia da 0 a 1), allora il gradiente stesso si ripeterà per distanze che variano da 0 a 1, poi ancora da 1 a 2, e così via. Non a caso il colore agli estremi è uguale: per permettere la continuità del gradiente, che appare, in questa maniera, ciclico.

A destra possiamo vedere come appare l'insieme di Mandelbrot con questo tipo di colorazione: al solito, può essere applicato anche per l'interno dell'insieme, e la conseguente colorazione è stata fatta con colori diversi, a seconda se si tratta di punti interni oppure esterni all'insieme.

L'insieme di Mandelbrot senza alcuna colorazione.

Insieme con un semplice algoritmo di colorazione.

Insieme di Mandelbrot colorato sia esternamente che internamente con l'algoritmo basato sull'angolo

Insieme di Mandelbrot con algoritmo di colorazione Orbit Trap, applicato sia all'interno che all'esterno.