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Iterazioni nel piano ComplessoConsideriamo adesso il caso complesso (nel senso dei numeri!): il procedimento è come il precedente: si tratta di assegnare una legge iterativa, e vedere per quali valori iniziali la successione diverge oppure no. Nel trattare questo caso, abbiamo una piccola difficoltà in piu rispetto ai numeri reali: noi non possiamo affermare direttamente se un numero complesso è maggiore o minore di un altro, per confronto diretto: quindi, in questo senso non possiamo dire se un numero complesso diverge oppure no. Questo problema si risolve immediatamente associando la misura e il confronto fra due numeri complessi, come confrono fra i loro moduli, cioè la loro distanza dall'origine, che è data da Consideriamo adesso la seguente iterazione: zn = zn-12 + c dove c è una costante complessa. Prendiamo, adesso, una c e una x0 iniziale, ed iteriamola.
Si vede facilmente che, dopo un inizio incerto, il modulo dei numeri dell'iterazione tende velocemente ad infinito. Notiamo che ciò vale per un numero il cui modulo iniziale era minore di 1: ciò fa apparire una differenza rispetto al caso dei numeri reali positivi, dove ogni numero con modulo minore di 1 (che corrisponde al numero stesso), convergerebbe a 0. Consideriamo, adesso, quest'altra iterazione, che ha sempre
Potete notare come l'iterazione non converga ad infinito, ma tenda ad un numero finito, l'attrattore, che fra l'altro non è nè 1, nè tantomeno infinito, ma un numero finito diverso da 0 (lo zero complesso, ma è un particolare secondario). Questo ci basta per capire come si formano gli insiemi di Mandelbrot e di Julia, dato che si basano su questo principio, e sulla medesima formula iterativa (mica l'ho presa a caso!). |
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Visualizzazione grafica dell'iterazione della tabella.
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Visualizzazione dell'iterazione a sinistra
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. E' da questo valore che possiamo vedere se un numero complesso diverge oppure no.