Iterazioni

Il frattale di Mandelbrot è ottenuto mediante la tecnica delle iterazioni: in pratica applico ad un punto specifico una regola per tante volte quanto servono ad ottenere il risultato voluto. Vediamo un esempio.

Supponiamo di avere la seguente iterazione:

xn+1 = 2*xn

Significa questo: prendo un valore, lo moltiplico per due, e questo rappresenta il mio nuovo valore: alla successiva iterazione, ripeto il procedimento, usando questa volta il valore precedentemente ottenuto.

Qua sotto c'è una tabella, ottenuta considerando dapprima come valore iniziale dell'iterazione x0 = 1, e nella parte destra considero x0 = 3.

x0 = 1
x0 = 3
n
xn
xn+1
xn
xn+1
0
1
2
3
6
1
2
4
6
12
2
4
8
12
24
3
8
16
24
48
4
16
32
48
96
5
32
64
96
192
6
64
128
192
384
7
128
256
384
768
8
256
512
768
1536
9
512
1.024
1536
3072
10
1024
2048
3072
6144

Ovviamente una regola così semplice non è molto utile ai nostri scopi, e tantomeno il fatto di aver usato i numeri reali. Possiamo notare, tuttavia, che qualsiasi seme iniziale noi utilizziamo, otterremo sempre una successione di numeri che converge ad infinito...

Consideriamo, adesso, la seguente tabella, sempre rappresentante una iterazione di numeri reali:

xn = xn-12

x0 = 0.5
x0 = 2
n
xn
xn+1
xn
xn+1
0
0.5
0.25
2
4
1
0.25
0.0625
4
16
2
0.0625
0.0039
16
256
3
0.0039
1.52*10-5
256
65536
4
1.52*10-5
2.32*10-10
65536
4.29*109
5
2.32*10-10
5.42*10-20
4.29*109
1.84*1019
6
5.42*10-20
2.93*10-39
1.84*1019
3.40*1038
7
2.93*10-39
8.63*10-78
3.40*1038
1.15*1077
8
8.63*10-78
7.45*10-155
1.15*1077
1.34*10154
9
7.45*10-155
5.56*10-309
1.34*10154
1.79*10308
10
5.56*10-309
3.09*10-617
1.79*10308
3.23*10616

Qua si può vedere che fa caldo: siamo partiti da dei piccoli valori, per arrivare, sopo appena 10 iterazioni, a cifre astronomiche, o a cifre infinitesime (pensate un attimo di che ordini di grandezza stiamo parlando).

Considerando la formula del ciclo iterativo, possiamo facilmente concludere che, qualsiasi sia il numero (REALE!!!) che andiamo a considerare, la successione convergerà a 0, oppure convergerà ad infinito. Questi due punti si chiamano ATTRATTORI della successione: essa convergerà comunque ad uno dei due valori; possiamo anche vedere, senza sforzarci eccessivamente il cervello, che la successione convergerà a 0 per tutti i valori x tali che |x| < 1, e divergerà per tutti i valori tali che |x| > 1 (non consideriamo il segno dell'infinito).

Il punto 1 (e l'opposto), sono i punti di frontiera diquesti due insiemi. I frattali si creano applicando lo steso procedimento nel campo dei numeri complessi, e saranno formati proprio dai punti di frontiera, che dividono i punti interni da quelli esterni.
grafico della prima tabella
Grafico rappresentante l'andamento delle due iterazioni nella tabella a sinistra
Grafico logaritmico per x0 = 2
Grafico della seconda tabella per x0 = 2. La scala è logaritmica
Grafico logaritmico per X0 = 0.5
Grafico della seconda tabella per x = 0.5. Anche qua la scala è logaritmica
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