Possiamo considerare i frattali alla stregua di funzioni matematiche, ma il loro comportamento, e anche il loro modo di essere disegnati, è profondamente diverso rispetto a disegnare, ad esempio, una retta, e abbiamo bisogno di moltissimi calcoli. Per questo c'è stato bisogno di una macchina che potesse eseguire tanti calcoli in poco tempo, come appunto i calcolatori. Vedremo nella teoria di base come viene creato il frattale di Mandelbrot.

Possiamo affermare che la nascita "ufficiale" della matematica dei frattali nasce nel 1980, quando Benoit B. Mandelbrot riuscì, tramite un computer VAX (un computer miracoloso nella preistoria dei computer), ad ottenere la prima stampa su carta dell'insieme che, giustamente, porta il suo nome.

Nonostante ciò, la teoria fondamantale, quella della "Iterazione di Applicazioni Razionali nel Piano Complesso" era già stata sviluppata, anche se non completamente, nel 1918, nei lavori degli studiosi Julia e Fatou. Sono gli stesi lavori che lesse Mandelbrot e lo convinsero ad effettuare ricerche in quel senso.

Apparse incredibile come ua semplice legge matematica (perchè tale appare la formulazione dell'insime di Mandelbrot) sia in grado di generare questa spettacolare figura. Ogni punto dell'insieme di Mandelbrot, poi, può essere usato come seme per creare un corrispettivo insieme di Julia, ottenuto da una variante della legge. Questo si vede nella teoria.

Una delle caratteristiche fondamentali dei frattali è la loro dimensione non intera, introdotta mediante il concetto di Dimensione di Hausdorff. Il concetto non è semplicissimo, sopratutto per il fatto che risulta anti-intuitivo. In pratica i frattali sono caratterizzati da una dimensione che varia da uno a due, oppure da due a tre, e così via. Per esempio, un frattale con dimensione 1.5 può essere poco più di un segmento e poco meno di un piano. La dimensione non intera è necessaria per poter riuscire a spiegare certe proprietà, ad esempio che una linea di lunghezza infinita riesca a stare dentro una regione finita di piano. Questo può essere il classico esempio di Benoit Mandelbrot della costa dei continenti; via via che misuriamo la lunghezza di una costa con una incertezza sempre minore, la lunghezza tende ad infinito.