Lo studio della relatività ristretta appare difficile allo studente perché la geometria a cui si riferisce richiede un notevole livello di astrazione infatti si riferiscono ad uno spazio quadridimensionale con tre coordinate spaziali reali e quella temporale immaginaria detto spazio di Minkowski. Tuttavia è possibile semplificare l'ambiente a due dimensioni: una spaziale x e una temporale t e ovviare all'ostacolo della dimensione immaginaria sostituendo la distanza euclidea con l'invariante ds2= dx2-dt2.
Si semplifica ulteriormente il problema considerando inoltre unitaria la velocità della luce in modo da mettere sullo stesso piano le due coordinate.
Le trasformazione di Lorentz, dopo queste semplificazioni si scrivono:
Le trasformazioni di Lorentz corrispondono ad un cambiamento di coordinate nel quale l'asse x ruota di un angolo
a mentre l'asse t ruota di un angolo -a.
Posto tg
a =v le equazioni degli assi trasformati sono: T=0 ovvero t - v x = 0, e X=0 ovvero x - v t = 0.
Il luogo dei punti P(x,y) aventi
(ds)2 costante dall'origine è: - x 2 + t 2 = k rappresenta per ogni valore di k un'iperbole equilatera di asintoti le bisettrici dei quadranti.
Questa curva rimane invariata applicando le trasformazione di Lorentz infatti:
Inoltre si osserva che le bisettrici dei nuovi assi rimangono invariate ( questo fatto in termini di fisica relativistica corrisponde a dire che la velocità della luce nei due sistemi di riferimento inerziali in moto uno rispetto all'altro la velocità della luce rimane la stessa.
Contemporaneità
Ogni evento corrisponde a un punto nel piano suddetto.
L'insieme degli eventi si suddivide in :
presente - l'origine
futuro - l'insieme degli eventi con t > | x |
passato - l'insieme degli eventi con t < - | x |
inconoscibile - l'insieme degli altri eventi con | x | > | t |
cono di luce - L'insieme degli eventi con | x | = | t |
Definiamo contemporanei due eventi in un dato sistema di coordinate se possiedono la stessa coordinata temporale.
Definiamo conspaziali due eventi in un dato sistema di coordinate se possiedono la stessa coordinata spaziale.
Il futuroe il passato costituiscono l'insieme degli eventi che possono essere conspaziali con il presente. Dal punto di vista fisico l'insieme degli eventi che possiamo modificare o che hanno potuto modificare il presente.
L'inconoscibile è l'insieme degli eventi che non possono essere conspaziali con il presente ma possono essere contemporanei per un qualche sistema di coordinate. Da un punto di vista fisico sono gli eventi dei quali non possiamo essere a conoscenza e che non possono venire modificati dal presente perché la distanza spaziale è maggiore della distanza temporale e quindi nessun messaggio inviato potrebbe giungere in tempo utile.
Il cono di luce è l'insieme degli eventi che stanno sulle bisettrici e sono quelli la cui distanza spaziale è uguale a quella temporale ovvero gli eventi la cui conoscenza ci giunge alla velocità della luce.
Come per esempio gli eventi astronomici che osserviamo al telescopio,
In questo spazio la contemporaneità e la conspazialità sono due relazioni simmetriche mentre, secondo la idea comune di spazio e tempo assoluti, siamo abituati a ritenere relativa al sistema di riferimento la conspazialità mentre assoluta la contemporaneità.
Non ci meraviglia che durante un viaggio in treno per il nostro sistema di riferimento rimaniamo sempre nello scompartimento (conspazialità) in tempi diversi (durata del viaggio) mentre per chi rimane a casa il nostro viaggio avviene in tempi diversi e spazi diversi, mentre ci meraviglierebbe pensare a orologi di precisione che avanzino con ritmi diversi a seconda se sono in movimento o no. Secondo la relatività spazio e tempo sono grandezze simmetriche pertanto è possibile avere eventi contemporanei per un sistema di riferimento ma non per un altro.
Trasformazioni di Galileo
Sono le trasformazioni del tempo assoluto uguale per tutti i sistemi di riferimento:
X = x - v t
T = t
Le trasformazioni di Galileo sono asimmetriche, come si vede i ruoli di spazio e tempo non sono intercambiabili.
gli eventi contemporanei rispetto ad un sistema lo sono anche rispetto ad un altro.
Possiamo porre tg
a = v.
L'invariante rispetto a queste trasformazioni è la distanza euclidea ds2= dx2
nota
Il nostro modo di vedere il mondo è asimmetrico perché le grandezze temporali con le quali abbiamo a che fare nella nostra vita sono enormemente maggiori di quelle spaziali infatti se, come abbiamo fatto, la velocità della luce è posta unitaria si ha che un secondo equivale a 300000 km ovvero un tempo piccolissimo e uno distanza pari a quella tra la Terra e la Luna sono equivalenti dal punto di vista relativistico. nel passare da un sistema di riferimento all'altro non ci meravigliamo dello scostamento dall'asse temporale mentre la stessa cosa per l'asse spaziale ci sconvolge.
Disegno dinamico
Istruzioni per l'uso del Disegno dinamico
Questo applet java consente di rappresentare le trasformazioni di Lorentz e di Galileo in modo dinamico cioè consente di modificare a piacimento diversi parametri del disegno: la velocità di traslazione, la posizione di due eventi e la finestra grafica utilizzata; è possibile spostarla, ingrandirla e rimpicciolirla a proprio piacimento. Per le trasformazioni di Lorentz vengono rappresentati i luoghi dei punti del piano nei quali l'invariante ds2 è costante che sono due famiglie di iperboli equilatere. Queste famiglie di curve consentono di visualizzare i cambiamenti di unità di misura nel passare da un sistema all'altro intatti, facendo ruotare gli assi blu, i punti di intersezione con tali famiglie di curve con gli assi sono i punti in cui una coordinata è zero e l'altra è costante. Per le trasformazioni di Galileo analogamente vengono rappresentate le rette parallele agli assi che svolgono lo stesso ruolo di quelle descritte sopra.
I tasti in basso Lorentz e Galileo consentono di passare da un tipo di trasformazioni ad un altro.
Per spostare un punto A o B Cliccare sul punto e senza lasciare il pulsante del mouse trascinarlo nella posizione desiderata. Il punto verrà ridisegnato nella posizione in cui è avvenuto il rilascio.
Per modificare i nuovi assi, ovvero cambiare la velocità di traslazione procedere analogamente a come illustrato sopra cliccando su uno dei vecchi assi blu e trascinandolo nella posizione voluta..
Per spostare la finestra cliccare sul grafico in posizione lontana dai punti o dagli assi ruotati e trascinare come sopra.
Per raddoppiare l'unità di misura delle x (rimpicciolire la finestra grafica orizzontalmente)
cliccare sul tasto Zoom X x 2
Per dimezzare analogamente cliccare su ZoomX/2
Analogamente per l'asse y.
Si consiglia di non esagerare con i tasti zoom; potrebbero sorgere dei problemi
Le finestre in alto contengono le coordinate dei punti A e B
con le lettere minuscole a,b se sono riferiti agli assi fissi x , t
con le lettere maiuscole A,B se sono riferiti agli assi ruotati X , T e vengono calcolati in base alle trasformate di Lorentz o di Galileo
Esercizi e approfondimenti.
Esercitarsi con il mouse fino a riuscire a posizionare gli assi X e T secondo un prefissato valore di v e A e B in modo che rappresentino degli eventi di prefissate coordinate sia fisse che mobili.
Posizionare i punti A,B in modo che rappresentino due eventi conspaziali rispetto al sistema X,T ma non rispetto al sistema x,t. Ripetere l'esercizio sia con le trasformazioni di Lorentz. che con quelle di Galileo.
Posizionare i punti A,B in modo che rappresentino due eventi contemporanei rispetto al sistema X,T ma non rispetto al sistema x,t. Ripetere l'esercizio con entrambe le trasformazioni e verificare che nel caso delle trasformazioni di Galileo la contemporaneità è assoluta.
Utilizzando le trasformazioni di Lorentz verificare, effettuando un semplice calcolo con la calcolatrice che, (a meno degli errori di misura) l'invariante ds2 =dx2-dt2 di un punto A qualsiasi non dipende dal sistema di riferimento (cambiando gli assi blu non cambia) e inoltre è negativo nel passato e nel futuro mentre è nullo sulle bisettrici ed è positivo nella zona non influenzabile ( a destra e a sinistra delle bisettrici verdi).
Utilizzando le trasformazioni di Lorentz verificare che in in tutti i punti di qualsiasi iperbole il valore dell'invariante è sempre costante e intero.
Verificare la legge di composizione delle velocità vf= (v+v1)/(1-v v1) per le trasformazioni di Lorentz e
vf = v1+ v2 per quelle di Galileo. Procedere come segue:
prendere nota del valore di v .
posizionare il punto A nel primo quadrante tra l'asse T e la bisettrice
prendere nota delle coordinate di a (rispetto al sistema x,t ) e di A(rispetto a X,T)
calcolare vf=x/t che è la velocità rispetto al sistema di riferimento x,t (fisso)
calcolare v1=X/T che è la velocità rispetto al sistema di riferimento X,T (in movimento)§
verificare le relazioni.
Dimostrare in generale le leggi di composizione indicate al punto precedente. (Applicare due volte le trasformazione e , con un po' di pazienza, verificare che equivale ad un'unica trasformazione il cui valore di v è quello indicato.
Verificare il fenomeno della dilatazione dei tempi:( scegliere un valore di v ,posizionare i punti A e B sull'asse T, calcolare le distanze temporali nei due sistemi di riferimento e verificare la nota formula)
Verificare il fenomeno della contrazione delle lunghezze, ( procedere analogamente al caso precedente scegliendo i due punti sull'asse X ).
Scegliere un valore piccolo di v ( assi blu vicini a quelli fissi) cliccare quattro o cinque volte su ZoomYx2. Si osserva che si rompe la simmetria stazio-temporale, l'asse T appare ancora lontana da t mentre x e X si confondono, le iperboli assomigliano a delle rette e le trasformazioni di Lorentz a quelle di Galileo.(cfr. quanto detto nella
Trasformazioni di Lorentz
