di Massimo Fantin ottobre 2002

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Con semplici ragionamenti, utilizzando le considerazioni fatte sul piano di Minkowki è possibile dimostrare per via geometrica e, con pochi calcoli, i due fenomeni tipici della relatività ristretta.

Dalle trasformazioni di Lorentz:

ponendo x = 0, cioè supponendo che il tempo proprio sia quello del sistema fisso (x,t) e risolvendo in t si ha:

Che esprime il fenomeno della dilatazione dei tempi

Analogamente ponendo T=0 cioè immaginando che la misura di lunghezza propria sia quella del sistema in movimento si ha t= vx e sostituendo nell'altra equazione:

che è la formula della contrazione delle lunghezze

Vediamo ora quanto abbiamo fatto dal punto di vista grafico

Per quanto riguarda la dilatazione del tempo si guarda alla costruzione grafica sugli assi dei tempi: il tempo t proprio del sistema nel quale ci troviamo è sull'asse verticale, i questo tempo t troviamo il valore rispetto all'altro sistema di riferimento conducendo dal punto (t,0) la parallela all'asse T e per comodità la trasliamo in modo che uno degli estremi coincida con l'origine delle coordinate, quello che otteniamo è il tempo T dilatato, osserviamo che T > t infatti ricordiamo che il luogo dei punti equidistanti dall'origine ( in questo caso equitemporali nei vari sistemi di riferimento in moto ) è un'iperbole equilatera, della quale è tracciato un archetto a partire da (0,t), come si vede graficamente il segmento OT supera l'arco di iperbole.

Per la contrazione delle lunghezze si inizia a considerare come lunghezza propria quella del regolo in movimento cioè si parte dal punto (X,0), da esso si conduce la parallela all'asse t verticale fino ad incontrare l'asse x, ottenendo un triangolo rettangolo, dal grafico si osserva che, contrariamente a come si penserebbe se ragionassimo nel piano euclideo, l'ipotenusa OX è più corta del cateto Ox, come si osserva dal segmento di iperbole passante per (0,x), che rappresenta i regoli equiestesi.