Laboratorio di fisica
Di Massimo Fantin
Schede di laboratorio:
Elementi di teoria degli errori
Perché la teoria degli errori?
Perché ogni misura che si fa non darà mai un risultato esatto,
Ogni misura sarà affetta da una certa incertezza che è dovuta a imprecisione degli strumenti e delle metodologie usate.
La misura ci fornisce un intervallo di valori entro il quale è presumibile si trovi al valore della misura fatta,
Nelle operazioni tra grandezze non operiamo con numeri ma con intervalli di valori, pertanto è necessario studiare dal punto di vista matematico come si opera con essi.
Come scriviamo un intervallo di valori?
Si può scrivere in diversi modi; in fisica in genere si scrive così: x
± D x dove si intende l'intervallo che va da x-D x a x+D x; per esempio se scriviamo 21 ± 1 intendiamo l'intervallo che va da 20 a 22 supponendo che il valore della misura sia compreso in questo intervallo.Propagazione degli errori
Studio di come gli errori presenti nelle misure delle grandezze che compaiono in una formula ne modificano il risultato.
Iniziamo a studiare come avviene la propagazione degli errori nelle operazioni elementari:
Operazioni
Addizione
( x
± D x ) + ( y ± D y ) = ( x + y ) ± (D x + D y)L'errore della somma è uguale alla somma degli errori
Dimostrazione:
Il valori massimo che la somma può assumere è: ( x + D x ) + ( y + D y )
Il valori minimo che la somma può assumere è: ( x - D x ) + ( y - D y )
La semidifferenza è (( x + D x + y + D y ) - ( x - D x + y - D y )) / 2 = (D x + D y)
Cioè la somma degli errori.
Sottrazione
( x
± D x ) - ( y ± D y ) = ( x - y ) ± (D x + D y)L'errore della differenza è uguale alla somma degli errori
Dimostrazione:
Il valori massimo che la differenza può assumere è: ( x + D x ) - ( y - D y )
Il valori minimo che la differenza può assumere è: ( x - D x ) - ( y + D y )
La semidifferenza è (( x + D x - y + D y ) - ( x - D x - y - D y )) / 2 = (D x + D y)
Cioè la somma degli errori.
S osserva che l'errore della somma e della differenza sono entrambi uguali alla somma degli errori.
Moltiplicazione
( x
± D x ) ´ ( y ± D y ) = ( x + y ) ± ( y D x + x D y)L'errore del prodotto di due misure è uguale alla somma di prodotti di ciascuna misura per l'errore dell'altra.
Dimostrazione:
Il valori massimo che il prodotto può assumere è: ( x + D x ) ´ ( y + D y )
Il valori minimo che il prodotto può assumere è: ( x - D x ) ´ ( y - D y )
La semidifferenza è (( xy + yD x + xD y + D xD y ) - ( xy - yD x - xD y + D xD y )) / 2 = yD x + xD y
Divisione
( x
± D x ) / ( y ± D y ) = ( x / y ) ± (( y D x + x D y) / y2)L'errore del quoziente di due misure è uguale alla somma dei prodotti di ciascuna misura per l'errore dell'altro, il tutto diviso per il quadrato della misura divisore.
Dimostrazione:
Il valori massimo che il quoziente può assumere è: ( x + D x ) / ( y - D y )
Il valori minimo che il quoziente può assumere è: ( x - D x ) / ( y + D y )
La semidifferenza è (( xy + yD x + xD y + D xD y ) - ( xy - yD x - xD y + D xD y )) / (2(y2-(D y)2))
Semplificando al denominatore (D y)2 perché infinitesimo di ordine superiore rispetto agli altri di ha
=( yD x + xD y)/ y2
Esempio
per capire l'importanza del calcolo degli errori, e in particolare come due formule equivalenti dal punto di vista matematico possono invece propagare in modo molto diverso gli errori dei dati iniziali.Si voglia calcolare il valore della funzione y = 1 / (
Ö 50 - x ) quando il valore di x assume un valore intorno a 7.Calcoliamo l'errore nel risultato con la formula precedente:
D
y =( (Ö 50-x) D 1 + 1 D (Ö 50-x) ) / ( Ö 50 - x )2 =D x/( Ö 50 - x )2ma poiché x
@ 7 si avrà che (Ö 50-7)2 @ 0.005pertanto
D
y = 200 D xRipetiamo lo stesso calcolo utilizzando un'altra funzione equivalente y =
Ö 50 + x ( per rendersi conto dell'equivalenza basta razionalizzare quella di partenza:D
y = D xda questi risultati si vede che a seconda della formula usata per calcolare uno stesso valore l'errore nel risultato può cambiare anche di più ordini di grandezza.