Lezione 15

*La metrica come generatrice di uno spazio duale*

di Michele Moroni


Introduciamo un generico quadrivettore B e un operatore lineare( ) le cui quattro componenti [B0,B1,B2,B3] sono definite come segue:

(1)

Risulta chiaro dalla precedente espressione che ad ogni quadrivettore B è associato un operatore e quindi esiste una corrispondenza biunivoca tra lo spazio degli operatori e quello dei quadrivettori.

Consideriamo ora i due generici quadrivettori A=[A0,A1,A2,A3], B=[B0,B1,B2,B3] e il loro prodotto scalare

Utilizzando la definizione (1) possiamo scrivere:

(2)

Infatti:

=

 

Teorema:Gli operatori , messi in corrispondenza biunivoca ai quadrivettori dalla relazione (1), sono delle unoforme e quindi costituiscono uno spazio vettoriale duale

 

Dimostrazione: basta dimostrare che gli operatori definiti tramite la (1) formano uno spazio vettoriale (per le proprietà dello spazio vettoriale vedi la lezione 6)

Definiamo quindi le operazioni di addizione e moltiplicazione per uno scalare

(a)

1) E' verificata la proprietà di chiusura dell'addizione: infatti per ogni V è verificata la relazione= (A·V)+(B·V) = (A+B)·V ; considerando valida la proprietà di chiusura nello spazio dei quadrivettori si ricava immediatamente A+B=C , ovvero = C·V ; applicando quindi la def (1) alla precedente otteniamo , la quale non è altro che la proprietà richiesta.

2) E' verificata la proprietà associativa dell'addizione: infatti, utilizzando solo la definizione (a)

3) E' verificata la proprietà commutativa dell'addizione: infatti, utlizzando solamente la definizione (a)

4) Esiste l'elemento neutro: ovviamente è l'operatore associato al quadrivettore [0,0,0,0] (elemento neutro nello spazio quadrivettoriale) tramite la relazione (a). Questo si indica con e ha tutte le componenti nulle.

5) Esistenza l'inverso: consideriamo un quadrivettore B=[B0,B1,B2,B3] e l'operatore ad esso associato secondo la definizione (1). Consideriamo l'inverso di B nello spazio vettoriale dei quadrivettori -B=[-B0,-B1,-B2,-B3]. L'operatore associato a -B attraverso la definizione (1) è l'inverso di e si indica con - . Infatti [ +(-)]V=(V)+[(-)(V)]=B·V-B·V=0

6) E' verificata la proprietà di chiusura della moltiplicazione per uno scalare: infatti= . Sapendo che è valida la proprietà di chiusura della moltiplicazione per uno scalare all'interno dello spazio quadrivettoriale allora aB = C. Associando al quadrivettore C l'operatore attraverlo la definizione (1) possiamo scrivere e questo dimostra la proprietà di chiusura.

7) E' verificata la proprietà distributiva della moltiplicazione per uno scalare: infatti per ogni numero reale r, applicando solamente la definizione (a)

8) E' verificata la proprietà associativa della moltiplicazione per uno scalare: se r ed s sono due scalari, tenendo conto della proprietà di chiusura possiamo scrivere:

9) Esiste l'elemento neutro in R: questo è chiaramente l'unità

 

Essendo verificate queste 9 proprietà il teorema è dimostrato

 

Teorema: Lo spazio vettoriale duale è isomorfo allo spazio dei quadrivettori

 

Dimostrazione: consideriamo 2 generici quadrivettori A e B e le corrispondenti unoforme e . Se a e b sono due generici scalari introduciamo il quadrivettore C=a·A+b·B (dove + e · sono ovviamente l'addizione e la moltiplicazione per uno scalare nello spazio vettoriale considerato). Se è l'unoforma corrispondente a C e se allora lo spazio dei quadrivettori e quello delle unoforme sono isomorfi.

Tenedo presente la proprietà di chiusura dell'addizione e della moltiplicazione, e della definizione (a) possiamo scrivere:

 

Ciò convalida il teorema

 

 

Consideriamo ora il tensore metrico g e le sue 16 componenti gik. Il tensore metrico agisce su ogni coppia di vetori A e B dello spazio vettoriale secondo la definizione:

A·B = g(A,B)=AiBkgik (3)

Confrontando l'espressione (3) con la (2) possiamo immediatamente dedurre che Bi = Bkgik sono le 4 componenti di un'unoforma .

Da questo punto di vista il tensore metrico genera una corrispondenza biunivoca tra lo spazio duale e lo spazio dei quadrivettori. Si dice quindi che il tensore metrico è il generatore di uno spazio duale.

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