Lezione 16

*Tensori 1/0 e 2/0*

di Michele Moroni

Consideriamo lo spazio vettoriale delle unoforme e un insieme di operatori lineari f che associano ad ogni elemento di un numero reale (ovvero ).Ciò vuol dire che per ogni coppia di unoforme e , e per ogni coppia di numeri reali a e b deve essere verificata la relazione

.

Con procedura perfettamente analoga a quella effettuata per le unoforme (vedi lezione 13) possiamo scrivere:

Definiamo quindi le componenti di f come:

(1)

Nota: le precedenti componenti vengono indicate con l'indice esponente ( analogamente alle componenti dei quadrivettori e al contrario delle componenti degli operatori 0/1, indicate con l'indice deponente). Il lettore perspicace ha già capito le ragioni di questa scelta.

L'operatore lineare f può quindi essere scritto come:

Analizziamo ora come si trasformano le componenti di questo operatore

La legge di trasformazione delle unoforme di base è (vedi lezione 13)

applichiamo f a questa relazione

Da cui, per la definizione (1) e per le proprietà di linearità

(2)

Questa è esattamente la stessa proprietà di trasformazione dei quadrivettori!!

(da qui risulta ovvio perche' l'indice esponente)

Una quaterna di numeri che si trasformano secondo la relazione (2) si chiamano tensori di tipo 1/0

Resta evidente come una quaterna di numeri con le giuste proprietà di trasformazione possono essere considerate sia come le componenti di un quadrivettore sia le componenti di un operatore 1/0 che agisce sullo spazio duale.

Se l'insieme degli operatori lineari di tipo 1/0 gode di tutte le proprietà dello spazio vettoriale allora sarà isomorfo allo spazio dei quadrivettori. Avrà quindi anche dei vettori di base (indicati con l'indice deponente che si trasformano come i vettori di base dello spazio quadrivettoriale)

________________________

Consideriamo ora un operatore bilineare q che associa ad una coppia generica di dueforme e un numero reale, ovvero un operatore

Dire che q è un operatore bilineare vuol dire che, per ogni numero reale a,b,c,d e per ogni quaterna di unoforme è verificata la relazione (vedi anche lezione 14)

Inoltre, per le e ,sono ovviamente valide le

Tenendo in debito conto la probrietà di bilinearità possiamo quindi scrivere

Le 16 grandezze sono chiamate "componenti di q" e si indicano con la notazione q^ik

Le ragioni dell'indice esponente sono chiare non appena si considera la legge di trasformazione delle componenti.

ovvero

(3)

Una entità matematica a 16 componenti che si trasformano secondo la relazione (3) viene chiamata tensore di tipo 2/0.

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