Lezione 6

*Lo spazio vettoriale dei quadrivettori*

di Michele Moroni

Un insieme di quadrivettori V costituisce uno spazio vettoriale quando sono definite due operazioni, chiamate rispettivamente addizione (+) e moltiplicazione per uno scalare ( x o ·) che godono delle seguenti proprietà

Proprietà dell'addizione

1) Proprietà di chiusura: per ogni vettore v e w in V la loro somma v+w appartiente a V
2) Proprietà associativa: per ogni vettore u, v, w in V, (u+v)+w = u+(v+w)
3) Propietà commutativa: per ogni vettore v e w in V, v+w = w+v
4) Esistenza dell'elemento neutro: l'insieme V contiene un elemento deminato "elemento neutro" e indicato usualmente con 0: questo soddisfa la proprietà v+0 = 0+v = v per ogni v appartenente a V
5) Esistenza dell'inverso: Per ogni vettore v in V, l'equazione v+x = 0 e x+v=0 ha una soluzione x in V, chiamata "inverso additivo" o "opposto", denominata con -v

Proprietà della moltiplicazione

6) Chiusura: per ogni numero reale r e ogni vettore v in V il prodotto r · v appartiene a V
7) Proprietà distributiva: per ogni numero reale r and ogni vettore v,w appartenenti a V, r · (v+w) = (r · v) + (r · w)
8) Proprieta associativa: per ogni numero reale r e s e ogni vettore v in V, r · (s · v) = (r · s) · v
9) Esistenza dell'elemento neutro in R: per ogni vettore v in V, 1 · v = v

 

Forme bilineari simmetriche

Una forma bilineare simmetrica definita su uno spazio vettoriale V è una relazione <-,-> che associa ad ogni coppia di vettori x e y appartenenti a V uno scalare e che soddisfa le seguenti propietà:

1) Simmetria: <x,y>=<y,x> per ogni x e y in V
2) <aX, bY> = ab< X, Y> per ogni x e y e per ogni scalare a e b
3) Bilinearità: <x, y+z> = <x, y>+< x, z> , <x+y, z> = <x, z>+ <y, z>
4) Non degenerazione: se <x,y>=0 per ogni y allora x=0

 

Uno spazio vettoriale in cui è possibile definire una forma bilineare simmetrica è chiamato
SPAZIO RIEMANNIANO

Consideriamo ora lo spazio vettoriale dei quadrivettori (lasciamo al lettore la facile dimostrazione che l'insieme dei quadrivettori forma uno spazio vettoriale). Introduciamo quindi la seguente legge di composizione interna:

E' immediato dimostrare che la precedente legge di composizione interna sullo spazio vettoriale dei quadrivettori è una forma bilineare simmetrica. Per analogia con la definizione di prodotto scalare standard nello spazio euclideo, spesso questa forma è chiamata "prodotto scalare" ("dot product" nei testi inglesi). Invitiamo comunque il lettore a tenere presente che, non essendo definita positiva, la precedente espressione non può essere formalmente considerata un prodotto scalare.

(Gli spazi vettoriali trattati in relatività sono in generale tutti spazi riemanniani dotati di prodotto scalare)

 

Teorema: Il prodotto scalare tra due vettori a e b è invariante lorentziano (non dipende dal sistema di riferimento).

Dimostrazione:

=

=


=

=

La norma di un vettore

Per ogni quadrivettore all'interno di uno spazio riemanniano dotato di prodotto scalare è possibile definire la grandezza chiamata "modulo quadro" o "norma quadratica"

||X||2 = X·X = -(X0)2+(X1)2+(X2)2+(X3)2

(attenzione a non confondere l'esponente identificativo della componente del vettore con l'elevamento al quadrato)

Si noti che ||X||2 può essere negativo. Se||X||2 < 0 X viene detto quadrivettore di tipo tempo (timelike); se||X||2 > 0, X è chiamato quadrivettore di tipo spazio (spacelike); infine, se ||X||2 = 0, X è chiamato "quadrivettore di tipo luce" (o quadrivettore nullo)

Se X non è spacelike, allora possiamo definire la norma di un quadrivettore come:

||X|| = (||X||2)1/2

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