Lezione 14

*Tensori 0/2 e metrica dello spazio-tempo *

di Michele Moroni

Consideriamo un operatore bilineare f che associa ad una coppia generica di quadrivettori A e B un numero reale, ovvero un operatore f ()

Dire che f è un operatore bilineare vuol dire che, per ogni numero reale a,b,c,d e per ogni quaterna di vettori A,B,C,D è verificata la relazione:

e quindi

Considerando che sono chiaramente verificate le due relazioni

possiamo scrivere

(1)

Le 16 grandezze f(e_i,e_k) sono chiamate "componenti di f" e si indicano con la notazione f_ik

Rimane quindi ovvio che un operatore bilineare f () è completamente definito quando sono definite le sue componenti f(e_i,e_k).

Il tensore f è quindi definito in un sistema di riferimento O dalle sue sedici componenti f_ik= f(e_i,e_k).

Ovviamente possiamo passare ad un sistema di riferimento O' in movimeno con velocità v = v_x rispetto ad O. I vettori di base e'_i di O' sono legati ai vettori di base e_i di O' dalla relazione: (vedi lezione 5)

Quindi, immediatamente,

Applicando le condizioni di bilinearità possiamo quindi scrivere:

e quindi otteniamo immediatamente l'equazione di trasformazione richiesta:

(2)

Una entità matematica di 16 grandezze che si trasformano secondo la relazione (2) è chiamata "tensore di tipo 0/2"

Consideriamo il prodotto scalare nello spazio vettoriale dei quadrivettori (vedi lezione 6):

Questo può essere scritto in forma contratta come:

dove è sottointesa una sommatoria sugli indici i e k, come usuale quando troviamo lo stesso indice contemporaneamente in posizione esponente e deponente.

Spostiamo la nostra attenzione sul termine g_ik , il quale assume i seguenti valori:

g_ik possono essere considerate le sedici componenti di un operatore chiamato g, il quale spesso si scrive sotto forma di matrice

Possiamoquindi pensare il tensore metrico come un operatore che associa due quadrivettori A e B ad un numero reale A·B; g infatti opera sulle componenti dei quadrivettori (input) in un modo prestabilito generando un numero reale (output)

g(A,B)=A·B

ovvero

g(A,B)=AⁱB^kg_ik

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