2.7 L'olografia

L'olografia è una tecnica che permette di registrare e ricostruire immagini tridimensionali. Il termine, coniato da D. Gabor nel 1949, vuole sottolineare come sia possibile una registrazione completa dell'informazione portata da un'onda, ampiezza e fase, e una conseguente ricostruzione che restituisca un'immagine tridimensionale (dal greco $\acute{o} \lambda o \varsigma$ intero, $\gamma \rho \alpha \varphi \acute{\eta}$ scrittura, disegno). L'ologramma è una sottile^2.2 lastra di un materiale fotosensibile, detta anche trasparenza, che conserva tali informazioni [41].

Figura 2.12: Registrazione (a) e lettura (b) di un ologramma sottile.

Si supponga di voler registrare l'immagine di un oggetto, la cui onda sia, per semplicità, piana e monocromatica:

$$U_{o}=A_{o} e^{i \psi_{o}} \qquad \textrm{con} \quad \psi_{o}= \vec{k}_{o} \cdot \vec{r}_{o}$$

con in generale A_o dipendente dalla coordinata spaziale $\vec{r}$. Poiché i materiali fotosensibili hanno risposte proporzionali all'intensità dell'onda, se si fa incidere U_osu una trasparenza T, la registrazione perde l'informazione sulla fase. Per evitare che questo accada, si registra la figura di interferenza tra U_o e un'onda di riferimento nota U_r, in genere piana monocromatica:

$$U_{r}=A_{r} e^{i \psi_{r}} \qquad \textrm{con} \quad \psi_{r}= \vec{k}_{r} \cdot \vec{r}_{r}$$

che si suppone, per semplicità, della stessa lunghezza d'onda dell'onda oggetto. La funzione di trasferimento della trasparenza T(x,y) (coordinate scelte come in figura 2.12) è proporzionale all'intensità della sovrapposizione di U_oe U_r:

$$T(x,y) \propto\vert U_{o}+U_{r}\vert^{2}= \vert U_{o}\vert^{2}+\vert U_{r}\vert^{2}+U^{*}_{r}U_{o}+U^{*}_{o}U_{r}=$$

$$=A_{o}^{2}+A_{r}^{2}+2(A_{o}A_{r}) \cos (\psi_{o}-\psi_{r})$$

La figura di interferenza registrata sull'ologramma è un pattern sinusoidale che contiene l'informazione sull'intensità e sulla fase di U_o; la lastra può essere considerata sottile se il periodo $\Lambda=\frac{\lambda}{\sin\theta}$, con $\theta$ angolo tra i vettori d'onda, è tale che lo spessore della trasparenza d sia $d \ll \Lambda$.

Per decodificare U_o viene fatta incidere l'onda di riferimento sull'ologramma, che trasmette l'onda U_s proporzionale a:

$$U_{s}= T(x,y)U_{r} \propto A_{r}e^{i \psi_{r}} [ A_{o}^{2}+A_{r}^{2}+2(A_{o}A_{r}) \cos (\psi_{o}-\psi_{r})]=$$

$$=A_{o}^{2}A_{r}e^{i \psi_{r}}+A_{r}^{3}e^{i \psi_{r}}+A_{o}A_{r}^{2}e^{i \psi_{o}}+ A_{o}A_{r}^{2}e^{-i \psi_{o}+2i\psi_{r}}$$

I primi due addendi rappresentano l'onda di riferimento U_r modulata dalla somma delle intensità delle due onde; il terzo è l'onda originale ricostruita, moltiplicata per un fattore costante A²_r; l'ultimo termine è l'onda oggetto coniugata, modulata da $A^{2}_{r}e^{2i\psi_{r}}$. Come mostrato in figura 2.12, generalmente si utilizza come onda di riferimento un'onda piana del tipo:

$$U_{r}=A_{r}e^{-ikz}$$

che nel piano dell'ologramma z=0 contribuisce solo per il fattore costante A_r; l'ultimo addendo è perciò l'onda oggetto coniugata.

La figura 2.12 mostra il semplice caso in cui l'onda oggetto è un'onda piana monocromatica del tipo:

$$U_{o}=A_{o}e^{-ik(x \sin\theta + z \cos\theta)}$$

e l'onda di riferimento:

$$U_{r}=A_{r}e^{-ikz}$$

La funzione di trasferimanto dell'ologramma, nel piano z=0, sarà perciò:

$$T(x,y) \propto A_{o}^{2} + A_{r}^{2} + A_{o}A_{r}e^{-i k x \sin\theta}+A_{o}A_{r} e^{i k x \sin\theta}$$

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Barbara Imperio
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