2.2.1 Guide a step-index

Le guide a step-index sono caratterizzate da un indice di rifrazione del tipo (fig. 2.3):

$$n(x,y,z)= \sqrt{\varepsilon_{r,t}} = \left\{ \begin{array}{ll} n_... ... $-d \le x \le 0 $} n_{3} & \textrm{per $x \le -d$} \end{array} \right.$$ (2.7)

con $n_{2} \ge n_{3} \ge n_{1}$. L'indice di rifrazione nella zona guidante (n₂) è maggiore che nelle zone adiacenti, generalmente substrato (n₃) e aria (n₁).

Figura 2.3: Guida a step-index.

L'equazione di Helmholtz si riduce ad un sistema di equazioni disaccoppiate nelle tre regioni:

$$\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\partial^{2} \vec{E}_{t}}{\partia... ... - \beta^{2} ] \vec{E}_{t} =0 & \textrm{per $x \le -d$} \end{array} \right.$$ (2.8)

La soluzione del sistema (2.8) si semplifica se il campo elettrico (o magnetico) ha una sola componente non nulla nel sistema di riferimento (x,y,z); a seconda della polarizzazione del campo elettromagnetico, selezionata mediante polarizzatori, si hanno onde piane monocromatiche denominate:

-

TE o transverso elettrico $\vec{E}(x,y,z,t)= \left( \begin{array}{l} 0 \\ E_{y} \\ 0 \\ \end{array} \right)$
con $E_{y}=E_{y}(x,y) e^{i (\omega t - \beta z)}$

-

TM o transverso magnetico $\vec{B}(x,y,z,t)= \left( \begin{array}{l} 0 \\ B_{y} \\ 0 \\ \end{array} \right)$
con $B_{y}=B_{y}(x,y) e^{i (\omega t - \beta z)}$

Nelle guide planari i modi TE e TM si trovano ad avere componenti nulle nella direzione ortogonale alla superficie della guida, lungo cui varia l'indice di rifrazione.

Figura 2.4: Modi TE e TM.

Le soluzioni del sistema (2.8) per modi TE, simili al problema di un elettrone in una buca di potenziale, si ottengono imponendo la continuità di E_y e $\frac{\partial E_{y}}{\partial x}$ alle interfacce. I modi possibili sono schematizzati in figura 2.5 e sono [23,46]:

-

modi non fisici, per $\beta \ge k_{0} n_{2}$; le soluzioni del campo elettrico sono crescenti per $x \to \pm \infty$, implicando perciò densità di energia infinita

-

modi guidati, per $k_{0} n_{3} \le \beta_{m} \le k_{0} n_{2}$; la soluzione è sinusoidale nella guida ed esponenziale decrescente all'esterno. In questo caso $\beta_{m }$ è una variabile discreta, cui corrispondono gli m-esimi modi guidati. Le soluzioni sono del tipo:

$$E_{y,m}= \xi_{ y,m}(x) e^{i(\omega t - \beta_{m} z)}$$ (2.9)

con

$$\xi_{y,m }(x)= \left\{ \begin{array}{ll} A e^{-q_{m}x} & \qquad \... ...} D e^{p_{m}(x+d)} & \qquad \textrm{per $x \le -d$} \end{array} \right.$$ (2.10)

che imposte le condizioni di continuità diventa:

$$\xi_{y,m}(x)= \left\{ \begin{array}{ll} C e^{-q_{m}x} & \qquad \t... ..._{m}d)] e^{p_{m}(x+d)} & \qquad \textrm{per $x \le -d$} \end{array} \right.$$ (2.11)

con

$$\begin{array}{l} h_{m}=\left( n_{2}^{2}k_{0}^{2}-\beta_{m}^{2... ..._{m} - n_{3}^{2}k_{0}^{2} \right)^{\frac{1}{2}} \end{array}$$ (2.12)

e

$$\tan (h_{m}d) = \frac{p_{m}+q_{m}}{h_{m}\left(1-\frac{p_{m}q_{m}}{h_{m}^{2}}\right)}$$

e dal momento che $q_{m}> p_{m}$, vi è maggiore attenuazione della coda evanescente in aria che nel substrato

-

modi di substrato per $k_{0} n_{1} \le \beta \le k_{0} n_{3}$; la soluzione è sinusoidale nella guida e nel substrato, esponenziale decrescente in aria. Il campo elettrico irradia nell'intera regione di substrato, attenuandosi su brevi distanze

-

modi radianti per $0 \le \beta \le k_{0} n_{1}$; il campo elettrico è sinusoidale nelle tre zone.

A partire dalla (2.4), per guide a step-index, si ottiene un sistema analogo a (2.8) per il campo $\vec{B}$, le cui soluzioni pei i modi TM sono simili a quelle appena discusse.

Figura 2.5: Modi per una guida step- index: a) non fisici (implicano una densità d'energia infinita), b) e c) guidati: TE₀ e TE₁, d) di substrato, e) radianti.

Guide di luce in niobato di litio drogato con ferro per applicazioni olografiche
Barbara Imperio
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