In particolare giustifichiamo meglio il Principio dell'argomento:
| il numero di zeri di un polinomio f(z) che si trovano nella parte di piano limitata da un contorno chiuso C è uguale al numero di volte che il punto f(z) aggira l'origine quando z percorre il contorno chiuso C una sola volta. |
Infatti se f(z) = a0+ a1·z +....+ an·zn e i suoi zeri sono z1, z2, ... ,zn allora, poiché
f(z) = an(z - z1)(z - z2)...(z - zn),
si avrà
arg f(z) = arg an + arg(z – z1 ) + ... + arg(z – zn)
e quindi, al variare di z, si avrà una variazione dell'argomento Darg f(z) = Darg(z – z1 ) + ... + Darg(z – zn) ;
quando il punto z percorre una sola volta una circonferenza,
se gira intorno a zi si avrà
quindi:
se z compie un giro completo intorno a k zeri del polinomio, allora
Darg f(z) = 2kp ,
il che significa che il punto f(z) ha compiuto k giri intorno a 0 .