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Se indichiamo con a la parte reale di un punto complesso e con b il coefficiente della parte immaginaria,
la sua rappresentazione algebrica è:    a + i b

Applicando le comuni proprietà associative e commutative e della proprietà   i² = –1, si ricava:
(a + i·b)+(c + i·d) = a+c + i·(b+d);
(a + i·b)·(c + i·d) = a·c-b·d + i·(a·d+b·c).

Esercizi:

Se vuoi puoi anche servirti di una calcolatrice per i numeri complessi 

1+i
——— = ?
1–i
 
Risoluzione:

(1+i)(1+i)
————————— =
(1–i)(1+i)

  1+2i–1
= —————— = i
   1+1

Calcola il coniugato di
  a + bi 2      a – bi  2
(———————)  +   (———————)
  a – bi        a + bi
 
Risoluzione:
Poiché
 (u·v)* = u*·v*
 (u/v)* = u*/v*
 (u + v)* = u* + v*

il coniugato è allora
  a + bi 2      a – bi  2
(———————)  +   (———————)
  a – bi        a + bi
Poiché tale numero coincide con il coniugato, è un numero reale. Poiché u e u* hanno lo stesso modulo, il modulo di ciascun termine vale 1 e la somma è 2 
Determina tutte le soluzioni di  |z-1|² = 1
 
Risoluzione:
Posto z = x + iy 
|z - 1|2 = 1 Û |x + iy - 1|2 = 1 Û (x - 1)2 + y2 = 1 
 
I punti soluzione sono quelli della circonferenza
di centro (1,0) e raggio 1.



 Determina z in modo che 
       z2  + (z*)2  = 0

Risoluzione:
 Se z = x + iy, quindi z* = x – iy, allora

       z2  + (z*)2  = 0  Û ... Û 2 x2  - 2 y2  = 0

Û (x + y) (x – y) = 0 Û  y = x oppure y = –x

Perciò, z = x + ix  vel  z = x – ix  con x reale qualunque.  
Nel piano, queste soluzioni sono le due bisettrici degli assi 
reale e immaginario.
pagine e figure in CabriJava di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione