<< inizio complessi < ······ << inizio sezione < ···································· << indietro < ············ > avanti >>

Esaminando i punti di modulo unitario, cioè con |z| = 1, quelli sulla circonferenza di centro 0 e passante per 1, puoi osservare che:

z = cos( arg(z) ) + i·sin( arg(z) ).

Constata inoltre che nel prodotto di due punti u e v di modulo unitario:
arg(u·v) = arg(u) + arg(v).

Constata infine che in generale il prodotto di due numeri complessi ha per modulo il prodotto dei moduli di ciascun punto e per argomento la somma degli argomenti.

Così risulta importante considerare anche

la rappresentazione trigonometrica

dei numeri complessi:

Posto per comodità ρ = |z| e θ = arg(z)

z = ρ ·( cos θ + i·sin θ )

Esercizi:

  1. Verifica che se z è unitario z·z* = 1.
  2. Risoluzione:
    Sovrapponi v a u* in una delle figure nella pagina e concludi

  3. Trova la rappresentazione trigonometrica di: i — Ö3.
  4. Risoluzione:
    Il modulo di (i - sqrt(3)) è 2.
    i - sqrt(3) = 2( - sqrt(3)/2 + (1/2)i )
    Poniamo di indicare con a l'argomento.
    cos(a) = - sqrt(3)/2
    sin(a) = (1/2)
    Scelto a = 5p/6
    (i-sqrt(3)) = 2(cos(5p/6) + i sin(5p/6))

    Semplici calcoli:

  5. 2(cos(1) + i·sin(1))·5(cos(2) + i·sin(2)) = 10(cos(3) + i·sin(3));
  6. 6(cos(5) + i·sin(5))
    —————————————————— = 2(cos(3) + i·sin(3))
    3(cos(2) + i·sin(2))
  7. ( 2(cos(3) + i·sin(3)) )5 = 32(cos(15) + i·sin(15))
  8. Dato z = cos(3) + isin(3)
    dimostra che 1 + z = (1 + z* )z
  9. Risoluzione:
    (1 + z* )z = (z + z·z*) =
    = cos(3)+ isin(3) + (cos(3)+ isin(3))(cos(3) - isin(3))=
    = cos(3)+ isin(3) + 1 = 1 + z

  10. Dato z non reale e |z|= 1, mostra che (z-1)/(z+1) è immaginario puro.
  11. presa la retta reale come retta polare e 0 come polo, i numeri complessi possono essere rappresentati in coordinate polari: se A è un numero complesso allora |A| è il modulo e arg(A) l'anomalia.
  12. Re(A) = |A| cos Arg(A)
  13. Im(A) = |A| sin Arg(A)
  14. (cosq + i sinq )2 = cos2q + i sin2q
  15. (cosq + i sinq )n = cos nq + i sin nq
  16. (cosq/n + i sinq/n )n = cosq + i sinq

pagine e figure in CabriJava di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione