Esaminando i punti di modulo unitario, cioè
con |z| = 1, quelli sulla circonferenza
di centro 0 e passante per 1, puoi osservare che:
Constata inoltre che nel prodotto di due punti u e v di
modulo unitario:
arg(u·v) = arg(u) + arg(v).
Constata infine che in generale il prodotto di due numeri complessi ha per modulo il prodotto dei moduli di ciascun punto e per argomento la somma degli argomenti.
Così risulta importante considerare anche la rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi: |
Posto per comodità ρ = |z| e θ = arg(z)
z = ρ ·( cos θ + i·sin θ ) |
Esercizi:
Verifica che se z è unitario z·z* = 1. |
Risoluzione:
Sovrapponi v a u* in una delle figure nella pagina e concludi
Trova la rappresentazione trigonometrica di: i Ö3. |
Risoluzione:
Il modulo di (i - sqrt(3)) è 2.
i - sqrt(3) = 2( - sqrt(3)/2 + (1/2)i )
Poniamo di indicare con a l'argomento.
cos(a) = - sqrt(3)/2
sin(a) = (1/2)
Scelto a = 5p/6
(i-sqrt(3)) = 2(cos(5p/6) + i sin(5p/6))
Semplici calcoli: |
Dato z = cos(3) +
isin(3) dimostra che 1 + z = (1 + z* )z |
Risoluzione:
(1 + z* )z = (z + z·z*) =
= cos(3)+ isin(3) + (cos(3)+ isin(3))(cos(3) - isin(3))=
= cos(3)+ isin(3) + 1 = 1 + z
Dato z non reale e |z|= 1, mostra che (z-1)/(z+1) è immaginario puro. |
presa la retta reale come retta polare e 0 come polo, i numeri complessi possono essere rappresentati in coordinate polari: se A è un numero complesso allora |A| è il modulo e arg(A) l'anomalia. |
Re(A) = |A| cos Arg(A) |
Im(A) = |A| sin Arg(A) |
(cosq + i sinq )2 = cos2q + i sin2q |
(cosq + i sinq )n = cos nq + i sin nq |
(cosq/n + i sinq/n )n = cosq + i sinq |