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Si indica con z*, e si legge coniugato di z, il simmetrico del punto z rispetto alla retta per 0 e per 1 (asse dei reali). Il punto medio tra z e z* si dice parte reale e si indica con Re(z); il punto medio tra z e –z* si dice parte immaginaria.

Si dice coefficiente della parte immaginaria il numero reale Im(z) tale che il punto complesso i·Im(z) è la parte immaginaria di z.

La distanza tra il punto z e il punto 0 si dice |z|, modulo del punto complesso z;
l'ampiezza dell'angolo di lati 01 e 0z si dice arg(z), argomento di z.

Esercizi:

    Dimostra geometricamente che:

  1. z·z* = |z|²
  2. Re(z)²+Im(z)²=|z|²
  3. arg(z) = – arg(z*)
  4. Z è immaginario se e solo se esiste B reale tale che Z = i·B ( creato Z sulla retta immaginaria e B sulla retta reale, costruito iB, osservare che iB è immaginario qualunque sia B; infine variare B in modo che iB si sovrapponga a Z)
  5. Z è immaginario se e solo se i·Z è reale
  6. Z è reale se e solo se i·Z è immaginario
  7. (A*)* = A
  8. A è reale se e solo se A = A*
  9. A è immaginario se e e solo se A = -A*
  10. (A+B)* = A* + B*
  11. (-A)* = -A*
  12. (AB)* = A*B* ; in particolare (kA)* = k A* quando k è reale
  13. i*= -i
  14. |A*|=|A|
  15. (1/A)* = 1/A*
  16. (A/B)*=A*/B*
  17. 1/A = A* / |A|2
  18. 1/A*= A/ |A|2
  19. A2 = |A|2 se e solo se A è reale
  20. | |A| - |B| | £ |A+B| £ |A| + |B|
  21. |AB| = |A|·|B|
  22. arg(i) = p/2
  23. arg(kA) = arg(A) qualunque k reale
  24. arg(A) - arg(-A) = p
  25. se |A+B| = |A|+|B| allora arg(A) = arg(B)
  26. arg(A·B) = arg(A) +arg(B)
  27. arg(1/A) = arg(A*)
  28. cos arg(A) = (A+A*)/|2A|
  29. |A+B|·cos arg(A+B) = |A| cos arg(A) + |B| cos arg (B)
  30. |A+B|2 = |A|2 + |B|2 + 2 |AB|·cos( arg(A) – arg(B) )
  31. Re(A) = |A| cos Arg(A)
  32. Im(A) = |A| sin Arg(A)

    33. Dimostra applicando le definizioni formali e le proprietà delle operazioni:

  33. A = (A+A*)/2 + (A-A*)/2 (semplificare il secondo membro applicando le proprietà delle operazioni )
  34. Im(A) = - i (A-A*)/2.
  35. (a+ib)*= a-ib al variare di a e b reali
  36. (An)* = (A*)n
  37. |A + B|2 + |A - B|2 = 2|A|2 + 2|B|2
  38. f(z) è un polinomio a coefficienti reali se e solo se f(z*) = (f(z))*
  39. f(z) è un polinomio a coefficienti immaginari se e solo se f(z*) = -(f(z))*
pagine e figure in CabriJava di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione