Osserva ora le potenze di un numero complesso di modulo unitario.

Chiameremo radice principale il numero complesso che tra le diverse radici n-esime ha minore argomento non nullo, cioè quello con argomento 2p/n.

Esercizi:

1. Risolvi : i·x2 +(1–5i)x –1 + 8i = 0

Risoluzione: 
Discriminante = ... = –6i+8
Le due radici quadrate di –6i+8 sono 3–i e –3+i
Le soluzioni dell'equazione sono quindi
2–i e 3+2i

2. Risolvi z2 = –4i

Poni x+iy  una radice di a+ib, e r=|a+ib|.
Allora x²–y²=a , –2xy=b  e x²+y²=r.
Da x²–y²=a  e x²+y²=r si ottiene
x² = (a + r)/2 
e quindi
y =  –b/(2·x) 

Poiché il modulo di –4i è 4 le due soluzioni sono
–Ö2 + i·Ö2
+Ö2 – i·Ö2

3. Trova tutti gli z tali che z4 = 8(i–Ö3)

8(i–Ö3) = 16.(cos(i–p/6) + i sin(–p/6))
Le quattro radici sono
z = 2(cos(–p/24 + kp/2) + i sin(–p/24 + kp/2))  con k intero

4. Calcola ( cos(2)+ i sin(2) + 1)n

Ricorrendo alla forma trigonometrica

(1 + cos(2)) = 2 cos2 (1)  e sin(2) = 2·sin(1)·cos(1) 

(1 + cos(2)+ i·sin(2)) =  2 cos2 (1) + i·2.sin(1)·cos(1)

                      = 2·cos(1) (cos(1) + i sin(1))

(1 + cos(2)+ i·sin(2))n  = 2n ·cosn (1) ·(cos(n) + i sin(n))

5. Dati: n intero positivo, z numero complesso di modulo 1, tale che z2n ¹ –1. Mostra che: zn ————— è reale 1 + z2n

Possiamo scrivere:

        z = (cos(t) + i sin(t)) 
Quindi:
        zn = (cos(n·t) + i sin(n·t))
da cui
        1 + z2n   = 1 + cos(2n·t) + i sin(2n·t)
                = 2 cos2(n·t) + 2 i sin(n·t)·cos(n·t)
                = 2 cos(n·t)·(cos(t) + i sin(t))
Quindi 
           zn             1
         ———————    =   ————————      è reale.
         1 + z2n        2 cos(n·t)

6. Calcola tutti gli interi n tali che: zn = (1 + i Ö3)n è reale.

z1 = 1 + i Ö3  ha modulo 2 e argomento p/3.
Perciò, zn ha modulo 2n e argomento n·p/3.
zn è reale se e solo se l'argomento è k·p (con k = intero).
Quindi, zn è reale se e solo se n è multiplo di 3. 

7. Calcola i valori reali di x e y in modo che (x + iy)3 > 8.

 
   (x + iy)3 = x3 + 3 i x2 y – 3 x y2 – i y3

   (x + iy)3 è reale Û   3 x2 y – y3 = 0
Û y = 0   oppure  y = Ö3·x   oppure  y =–Ö3·x

Quindi: (x + iy)3 > 8 se e solo se 

        ( x > 2  e y = 0 )
        y = Ö3·x  e  x2 + y2 > 64
	    Û...  y = Ö3·x  e   |x| > 4
        y = – Ö3·x  e  x2 + y2 > 64
            Û...  y = – Ö3·x  e   |x| > 4

8. Siano u,v,w le tre radici dell'equazione z3 – 1 = 0 . Determina u·v + v·w + w·u senza calcolare le tre radici.

Le radici sono il punto 1 e due numeri complessi coniugati. 
Posto u = 1, calcoliamo v + w + v·w . 
Si ha che 1 + v + w = 0 .
Quindi v + w = –1.
 
Dobbiamo allora calcolare  –1 + v·w .
 
Dato che il prodotto delle radici è 1, allora  1·v·w = 1. 
Quindi  u·v + v·w + w·u = –1 + v·w = –1 + 1 = 0.

9. Se z1, z2, ... zn sono le radici n-esime dell'unità, verifica che z1+ z2+ ... + zn = 0

zk = z1k e zn = 1  e quindi la somma delle radici è anche
1+z1+ z12+ ... + z1n–1=
  1–z1n
= ———— = 0
  1–z1

10. Se z1, z2, ... zn sono le radici n-esime dell'unità verifica che z1i+ z2i+ ... + zni = 0 "i = 1, 2,.., n–1

Per ognuno di questi valori di i, la lista di punti complessi
z1i, z2i, ... , zni 
è solo una permutazione della lista delle radici n-esime dell'unità.
Per i>n-1 tutti i termini valgono 1.