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Concludiamo riassumendo e integrando quanto visto nelle precedenti sezioni.

Il piano diventa una potente struttura algebrica se si fissano un punto zero, un punto unità e un verso del piano, e se poi si considerano opportune costruzioni geometriche per la somma e la moltiplicazione tra punti.

Un numero complesso può esprimersi in forma algebrica: z = a+i·b con a parte reale e i·b parte immaginaria.
Posto q = arg(z) e r =| z| , la sua forma trigonometrica è: z = r (cosq +i·sinq ).

Ancora più comoda è la sua forma esponenziale z = reiq . In questo modo più semplicemente:

z1·z2 = r1r2ei(q1+q2) ;
z1/z2 = (r1/r2)ei(q1-q2) ;
z* = re-iq;
1/z = (1/r)e-iq

Formula di de Moivre : " nÎ Z si ha (eiq )n = ein·q .

Dunque " nÎ N* e " cÎ C*,

l’equazione zn = c ha n soluzioni zk=reiqk,

dove rn = |c| , qk = (arg(c)+2kp )/n , con 0£ kÐ n, kÎ N.

a+ib

r (cosq +i·sinq )

reiq

a=rcosq

b=rsinq

r =Ö (a2+b2)

cosq =a/Ö (a2+b2)

sinq =b/Ö (a2+b2)

Formule d'Eulero:
pagine e figure in CabriJava di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione