Forza elastica e geometria analitica
Costante di proporzionalità
Quando due grandezze fisiche sono tali per cui i punti associati alle loro misure giacciono su una retta passante per l'origine, diciamo che queste due grandezze fisiche sono direttamente proporzionali. Nel caso del nostro esempio, l'allungamento di una molla x e la forza applicata F sono due grandezze direttamente proporzionali: F = k · x. Il contenuto di questa relazione matematica esistente tra la forza e l'allungamento va anche sotto il nome di legge di Hooke.
La costante di proporzionalità k prende il nome di costante elastica della molla. Dividendo per l'allungamento x entrambi i membri dell'uguaglianza F = k · x otteniamo che k = F / x da cui l'unità di misura di k nel Sistema Internazionale è il newton su metro (N / m). Da questa relazione possiamo anche derivare una caratterizzazione interessante delle grandezze direttamente proporzionali:
Due grandezze sono direttamente proporzionali quando il loro rapporto risulta essere uguale a una costante.
In altre parole, cambiando la forza applicata alla molla cambia l'allungamento ma siamo certi che, se dividiamo la forza per l'allungamento, otteniamo un numero fisso che dipende solo dalle caratteristiche costitutive della molla. Di conseguenza se raddoppiamo la forza applicata raddoppierà anche l'allungamento prodotto, se triplichiamo la forza applicata triplicherà anche l'allungamento e così via. Queste considerazioni sono valide fino a un certo valore massimo della forza applicata alla molla. Ogni molla infatti può sopportare un carico massimo. Quando aumentiamo ulteriormente il carico verranno indotte delle deformazioni permanenti nella molla che perderà di conseguenza le sue caratteristiche elastiche. In questo regime la forza e l'allungamento non sono più direttamente proporzionali.
Per ricavare l'allungamento x in funzione della forza F e della costante k dovremo dividere entrambi i membri della legge di Hooke F = k · x per k. In questo modo x = F / k. Siccome k compare al denominatore avremo che, a parità di forza applicata, una molla caratterizzata da una costante elastica k molto alta (molla rigida) si allungherà di poco, una molla caratterizzata da una costante elastica k molto piccola si allungherà di molto (molla elastica). Ad esempio, se fissiamo come forza applicata alla molla F = 0.5 N, avremo che a una costante elastica k = 60 N / m corrisponde un allungamento
x = 0.5 / 60 m = 8 · 10-3 m = 0.008 m.
Se invece la costante elastica diventa un decimo della precedente, ossia k = 6 N / m, avremo un allungamento dieci volte maggiore: x = 0.5 / 6 m = 0.08 m.
Concludiamo questa sezione con alcune considerazioni sulla misura indiretta di k. Siccome k = F / x, per misurare k possiamo fare varie misure della forza F e dell'allungamento prodotto x. La migliore stima per la costante di elasticità della molla è il valor medio delle misure, l'errore assoluto associato è invece la semidispersione delle misure.
