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MASSIMI MINIMI |
matematica |
MASSIMI E MINIMI RELATIVI DI UNA FUNZIONE
1] Diagramma di flusso per la ricerca dei massimi e minimi di una funzione
E' data la funzione y = f (x) definita in un dominio Df.
f (x)
continua ? no
derivabile ? no
f ' (x)
f '
(x) = 0
f ' (x) > 0
Massimi e minimi relativi
(delle funzioni derivabili)
Un punto X0 Î [a; b] è di massimo relativo per la funzione f(x) se $ un intorno completo I del punto X0 tale che " x interno ad I risulti: f(X) £ f(X0).
Un punto X0 Î [a; b] è di minimo relativo per la funzione f(x) se $ un intorno completo I tale che " x interno ad I risulti: f(X) ³ f(X0).
Teorema: Se X0 è un punto di massimo (o di minimo) relativo per la funzione f(x) e in tale punto la f(x) è derivabile, risulta: f ’ (X0) = 0.
dimostrazione:
Sia f(x) una funzione definita in un intervallo [a; b] ed ivi derivabile.
Sia X0 Î Df punto di massimo !! ovvero $ IXo Ì Df : f(X) £ f(X0).
Considerato un h ¹ 0
: X0 + h Î IXo si fa il
a sinistra e a destra di X0 .
(1) 
per h < 0
(numeratore negativo e denominatore
negativo)
(2) 
per h > 0
(numeratore negativo e denominatore
positivo)
Per la derivabilità di f(x) in Xo e per il T. della permanenza del segno, il limite della (1) sarà:
e quello della (2) sarà:
dovendo essere contemporaneamente f ’ (Xo) ³ 0 e f ’ (Xo)£ 0 dovrà essere f ’ (X0) = 0.
La condizione f ’ (X0) = 0 è condizione necessaria perché Xo sia punto di massimo o di minimo relativo, ma non sufficiente.
Diventa sufficiente se affiancata allo studio del segno della derivata a sinistra e a destra del punto X
o per la crescenza o decrescenza della f(x).