Limiti delle funzioni
Definizioni e teoremi
(Esercizi
svolti e da svolgere)
Consideriamo la funzione y = f(x) definita in un Insieme A e sia Xo un punto di A, si vuole studiare il
comportamento della funzione stessa in un intorno del punto Xo .
Per la definizione di limite di f(x) in un punto Xo (appartenente al Dominio), si esamina il comportamento
della f(x) quando X tende a Xo e se il valore corrispondente di f(x) si avvicina sempre più ad un numero l,
si dirà che l è il limite della f(x) per X tendente a Xo , se invece la funzione assume valori sempre più
grandi, si dirà che il limite per X che tende a Xo della f(x) vale ¥ (infinito).
Per tali limiti valgono le definizioni date al punto (1).
1. Limite di f(x) in un punto
| Lim f(x)
= l
X -----> x0 |
Se per "
e > 0, $ un
Ixo / " x Î
Ixo con x ¹ xo ,
Þ ½ f(x) -l
½ < e , ovvero: l - e < x < l + e . |
| Lim f(x)
= ¥
X----> x0 |
Se per "
M > 0, $ un Ixo /
" x Î Ixo
con x ¹ xo ,
Þ ½ f(x)
|
> M. (a) se è + ¥ Þ f(x) > M; (b) se è - ¥ Þ f(x) < - M. |
Se invece si vuole esaminare il comportamento della funzione y = f(x) per x che tende ad infinito,
nella tabella sottostante sono previsti i diversi casi (il limite l può essere finito o infinito).
2. Limite di f(x) all'infinito
| Lim f(x)
= l
X ---> ¥ |
Se fissato un arbitrario
e > 0, si può determinare un Ke
> 0, : " x Î Df con ½ x½ > Ke Þ ½ f(x) - l ½ < e . (a) se è x + ¥ Þ x > Ke (b) se è x - ¥ Þ x < - Ke . |
| Lim f(x)
= ¥
X --->¥ |
Se fissato un
" M > 0 (grande a piacere), si può determinare un Km > 0 / " x Î Df con ½ x½ > Ke Þ ½ f(x)½ > M. |
| (a) Lim
f(x) = + ¥
x ----->+ ¥ |
Se " M > 0, $ Km : " x Î Df con x > Km Þ f(x) > M. |
| (b) Lim
f(x) = + ¥
x ----> - ¥ |
Se " M > 0, $ Km : " x Î Df con x < Km Þ f(x) > M. |
| (a) Lim
f(x) = - ¥
x ---->+ ¥ (b) Lim f(x) = - ¥ x ----> - ¥ |
Se "
M > 0, $ Km : "
x Î Df con x > Km
Þ f(x) < M.
Se " M > 0, $ Km : " x Î Df con x < Km Þ f(x) < M. |
3. Forme indeterminate
|
|
0 × ¥ |
|
¥ - ¥ |
0° |
¥ ° |
1 ∞ |
Sono forme di limiti per i quali non è possibile stabilire il valore; se tali limiti esistono, si determinano
per altra via (trasformando la funzione o usando il T. di De L'Hospital).
3.1 Limiti notevoli o fondamentali (esercizi)
4.
Teoremi sui Limitia) Teorema
dell' unicità del Limite: Se una funzione y = f(x) ha, per x tendente ad Xo , un limite l , tale limite è unico.b)
Teorema del Confronto (dei carabinieri): Se f(x), h(x) e g(x) sono tre funzioni definite nello stesso intervallo, eccettuato al più un punto Xo dell'intervallo, e se per ogni X dell'intervallo risulta h(x) compreso tra f(x) e g(x), ovvero :f(x) £ h(x) £ g(x)
e se inoltre è: 
allora è anche: 
c) Teorema
della Permanenza del Segno: Se per Xà Xo la funzione y = f(x) tende ad un limite l , finito e non nullo, allora esisterà un intorno del punto Xo, per ogni X del quale, escluso al piùil punto Xo, nel quale la funzione assume valori dello stesso segno del limite l .
5.
Operazioni sui limiti delle funzioniSe due funzioni f(x) e g(x) definite nello stesso insieme A, sono convergenti, cioè ammettono ciascuna
un limite finito per X tendente ad Xo , ovvero:
e
sussistono i teoremi:
Addizione: Il limite della somma di funzioni è uguale alla somma dei limiti delle singole funzioni.
Sottrazione: Il limite della differenza di funzioni convergenti è uguale alla differenza dei limiti
delle singole funzioni.
Moltiplicazione: Il limite del prodotto di funzioni convergenti è uguale al prodotto dei limiti
delle singole funzioni.
Divisione: Il limite del rapporto di funzioni convergenti è uguale al rapporto dei limiti delle singole
funzioni, supposto il limite del denominatore ¹ 0.
Potenza: Il limite della potenza di una funzione è uguale alla potenza del limite della funzione.
Valore assoluto: Il limite del valore assoluto di una funzione è uguale al valore assoluto del limite.
