TEOREMI DELLE FUNZIONI DERIVABILI

Teorema di ROLLE:

Sia f(x) una funzione continua in [a; b] e derivabile in (a; b); se f(a) = f(b), almeno un punto X₀ [a; b]

per cui  risulta :           f’(X₀) = 0.

Ovvero: SE                                               ALLORA :

Teorema di LAGRANGE: (o del valore medio)

Se f(x) è continua in [a; b] e derivabile in (a; b), almeno un punto "c" interno ad (a; b) tale che:

       (1)

Si consideri la funzione ausiliaria:    φ(x) = f(x) – Kx  ;         (2)

con K reale. Sarà anch’essa continua in [a; b] e derivabile in (a; b).

Si determina la costante K nell’ipotesi che φ (a) = φ(b) e si applica poi il teorema di Rolle:

In tale ipotesi sarà: f(a) – K a = f(b) – K b da cui:

             (3)

La φ(x) diventa: φ(x) = f(x) --         (4)

e ad essa è applicabile il T. di Rolle; cioè esisterà un punto "c" interno ad (a; b) per cui  f’ (c) = 0.

Dalla φ’(x) = f’(x) --      e sarà per φ’(c) = 0

f’(c) --     =   0; da cui     f’(c) =         c. v. d.

Enunciato: Sia f(x) continua in [a; b] e derivabile nei punti interni , se risulta:

Sia X₁ < X₂ per il T. di Lagrange da cui : f(X₂) = f(X₁) + (X₂ – X₁) f’(X₀).

Essendo X₂ – X₁ > 0, l’ipotesi f’(x) > 0 X (a; b) implica f’(X₀) > 0 e dunque deve essere

f(X₂) - f(X₁) = (X₂ – X₁) f’(X₀) > 0; ovvero f(X₂) > f(X₁) cioè la f(x) è CRESCENTE in [a; b].

Se invece l’ipotesi è f’(X) <0, cioè: f(X₂) - f(X₁) = (X₂ – X₁) f’(X₀) < 0; ovvero f(X₂) < f(X₁);

cioè la f(x) è DECRESCENTE in [a; b].

·        Teorema di DE L'HOPITAL:

Questo teorema prende il nome del marchese Guillaume Francois Antoine de l’Hôpital (1661-1704). E’ un teorema che 

in molti casi   permette di calcolare quei limiti di funzioni che danno  luogo a forme indeterminate del tipo  oppure . 

Esso mette in relazione tra loro, il limite del rapporto tra due funzioni entrambe tendenti a zero o all’infinito, ed il limite del                  

rapporto   tra le loro derivate.

Teorema: Se due funzioni y = f(x) e y = g(x)  definite nello stesso insieme, entrambe derivabili e per ogni X dell’insieme   

 risulta  g’ (x)  ¹  0.

 Siano f(x) e g(x) due funzioni continue in [a;  b] e derivabili in tutto  (a; b), escluso al più il punto X₀ appartenente ad  (a;  b),   

con  g '(x)  ¹  0 qualunque X appartenente ad  (a;  b) e se  f(X₀)  =  g(X₀)  = 0.

Se esiste ed è finito  il limite per X che tende a X₀ del rapporto tra le derivate di  f(x) e g(x), ovvero

     allora esisterà anche il limite del rapporto tra le funzioni stesse, cioè      e questi

      due limiti risulteranno uguali. Cioè:

Questo teorema permette di risolvere il calcolo del limite di funzioni quando si presentano nelle seguenti forme indeterminate:  

 ;     .

E' possibile usare questo teorema anche per altre forme indeterminate, dopo aver trasformato le due funzioni  f(x)  e  g(x) 

 in modo  da ritrovarsi nelle due forme indeterminate viste sopra.