Si vuole verificare con DERIVE la verità della seguente congettura: la somma dei primi n numeri dispari è uguale ad n².

Selezionare Espressione. Digitare 2k-1 <¿>. Selezionare Calcola serie, premere <¿> per confermare di voler calcolare la sommatoria dell'espressione prima digitata e i valori proposti nel menu (1,n).

Nella finestra di Algebra compare il simbolo di sommatoria   che rappresenta la somma dei primi n numeri dispari.

Si noti infatti che l'espressione è certamente un numero dispari per ogni k, anzi 2k - 1 è  proprio il k-esimo dei numeri dispari.

Selezionare Espressione, digitare vector , quindi evidenziare con il mouse la sommatoria prima ottenuta, premere il tasto funzione <F3> per inserirla nella linea di editing, poi proseguire la digitazione con ,n,1,10) <¿>.

Selezionare Semplifica.

Questo comando fa comparire nella finestra di Algebra sotto forma di componenti di un vettore (vedi Attività n. 1) la somma dei primi 1, 2, 3, ..., 9, 10 numeri dispari.

Si noti che sono tutti "quadrati perfetti", rispettivamente di 1, 2, 3,...,9,10.

La congettura sembra essere vera.

Ripetere la verifica della congettura, ad esempio, per n che va da 11 a 20.

ATTIVITA' N. 4:

Visto che non è stata trovata una confutazione della congettura, che d'ora in poi indicheremo con il simbolo P(n), congettura formulata nella precedente Attività, si dimostri per induzione la sua

validità.

Come in ogni dimostrazione per induzione, iniziamo mostrando la cosiddetta base dell'induzione, cioè la validità della proposizione nel caso iniziale, n=1.

La proposizione P(1) è certo vera: la somma che ha come (unico) addendo il primo dei numeri dispari, 1, è certo un quadrato perfetto.

Supponendo vera la proposizione P(n), cioè che  ,  dimostriamo che è vera la

proposizione P(n+1), cioè la proposizione:

 =   + (2 (n + 1) - 1) = n ²  + (2n + 1) = (n + 1)²  .

Poiché P(1) è vera e P(n) Þ P(n + 1), la P(n) è vera "n Î N, n ³ 1.

ATTIVITA' N. 5:

Dimostrare per induzione che n³ - n è divisibile per 3 per ogni n di N.

Indichiamo con P(n) la proprietà da dimostrare.

P(0) è ovvia. Dimostriamo che P(n) Þ P(n + 1).

(n + 1)³ -  (n + 1) = n ³  + 3n²  + 2n = n³  + 3n² + 2n + n - n = (n³ - n) + 3(n² + n).

Il primo addendo dell'ultima espressione scritta, per l'ipotesi P(n), è divisibile per 3; anche il secondo addendo è ovviamente divisibile per 3. Dunque l'intera espressione è divisibile per 3, la P(n+1) è vera e la proprietà è dimostrata.

La proprietà è facilmente dimostrabile anche senza utilizzare il principio di induzione.

La proprietà è ovviamente vera per n = 0 ed n = 1; supponiamo dunque che sia n > 1.

Dato che è n³ - n = (n - 1) n (n + 1), si tratta del prodotto di tre numeri naturali consecutivi, uno (ed uno solo) dei quali è certo divisibile per 3 (Basta fare la "numerazione per tre": 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, …ecc.)