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ATTIVITA' N. 6:

Pierre Fermat, matematico francese del diciassettesimo secolo, formulò la congettura che tutti i numeri della

forma         sono numeri primi.

Utilizzare DERIVE per verificare questa congettura per valori di n da 1 a 6.

Ci si comporti in modo simile a quanto indicato nella Attività n. 1.

Può sorprendere il fatto che in pochi istanti si ottiene lo stesso risultato che il matematico svizzero Leonhard Euler (Eulero) ottenne solo un secolo dopo la congettura di Fermat, cioè che la congettura è falsa già per n = 5.

ATTIVITA' N. 8:

Determinare il numero d(n) delle diagonali di un poligono (convesso) di n lati.

Si supponga di voler inserire un nuovo vertice "compreso" tra l'ultimo vertice An ed il primo

A 1 di un poligono di n lati che ha i vertici A 1 , A 2 ,....A n disposti, ad esempio, in senso antiorario.

Si osservi (v. Fig. n. 8) che, per ogni nuovo vertice che viene aggiunto al poligono, il numero delle diagonali aumenta di n-2

(tutti i segmenti che congiungono il nuovo vertice con tutti i vertici preesistenti, tranne i due più vicini, A 1 A n+1 ed A n A n+1 , che sono lati del nuovo poligono); a questi va però aggiunto 1: infatti il segmento A 1 A n , che nel precedente poligono era lato, ora diviene diagonale.

Avremo:

d(3) = 0

d(4) = d(3) + 2 = 2

d(5) = d(4) + 3 = 5

..............

d(n + 1) = d(n) + n - 1

              fig.8

Si deduca da questa, con il procedimento visto nelle precedenti Attività, la nota formula: