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GUIDA ALLO STUDIO DELLA PARABOLA con DERIVE6



L'equazione y = ax²+bx+c rappresenta una parabola con asse di simmetria una retta parallela.

Studiamo come varia il grafico nel piano cartesiano al variare dei parametri a, b, c.

 

LA CONCAVITA' DI UNA PARABOLA

 

1.      Col comando crea vettore immetti nella finestra di algebra le seguenti equazioni:

y = -x²+2x +1   y = -5x² +2x +1   y = x²+2x+1   y = 2x²+2x+1   y = 0x²+2x+1

 

2.      Costruisci i relativi grafici: noterai che tutte intersecano l'asse y nel punto 1.

Il parametro c (cosμ come accade per la retta) rappresenta: ……………………………………………...

Inoltre alcune volgono la concavitΰ verso l'alto, altre verso il basso.

 

3.      Conclusione: nella parabola di equazione y = ax²+bx+c:

Se a>0……………………………………………………………………………

se a<0…………………………………………………………………………. .

se a=0…………………………………………..

Pertanto nell’equazione di una parabola quale, tra i coefficienti a , b, c , deve essere sempre diverso da zero?........

 

L'apertura di una parabola

 

1.      Svuota le due finestre:

nella finestra del grafico  <Ctrl> <D>, nella finestra di algebra  <Ctrl> <A> per selezionare tutto,e poi <Canc> e immetti le seguenti equazioni:

y = 8x² + 24x +37/2         y = 8x² +1/2         y = 8x² - 24x +37/2

 

2.      Costruisci i tre grafici: noterai che i tre vertici sono allineati in orizzontale e che le tre parabole hanno la stessa apertura.

 

3.      Per calcolare l'apertura delle parabole possiamo utilizzare la retta di equazione y =1, trovare i punti di intersezione con i tre grafici e misurare l'ampiezza dei tre segmenti intercettati: devi avvicinare il cursore + al punto di intersezione finchι l'ordinata scritta in basso a sinistra diventa 1, l'ascissa del primo punto di intersezione dovrebbe essere -1,75 (CROCE: -1,75;1).  L’ampiezza di ciascuna parabola θ  ...........

 

4.      Svuota le due finestre, disegna le parabole:  y = 8x²;   y = 2x²;    y = x²;    y =1/2 x²;   y = 1/4x²; e ripeti quanto fatto nel punto precedente.

 

5.      Infine, ripeti tutto per le parabole: y = -8x²;   y = -2x²;  y = -x²;   y = -1/2 x²;   y = -1/4x².

 

 

Conclusione: l'apertura di una parabola dipende da    ………………………..

 

ed in particolare aumenta se     ………………………………………..    e viceversa.

 

 

 

 

PARABOLE PARTICOLARI

 

Casella di testo: y = ax²     ( b = c = 0)  

 

 

equazione

Vertice

Fuoco

Direttrice

Asse di simmetria

y =1/2 x²

 

 

 

 

y = x²

 

 

 

 

y = -x²

 

 

 

 

y = -5x²

 

 

 

 

 

Conclusione: la parabola di equazione y = ax²  ha le seguenti caratteristiche:

·        Il vertice θ……….

·        L'asse di simmetria θ ……….

·        L'unica intersezione con gli assi θ ………….

 

 

 

 

 

Casella di testo: y = ax² + c       (b = 0)

 

equazione

Vertice

Intersezioni con l'asse x

Asse di simmetria

y = 1/4x² -1

 

 

 

 

y = x² + 1/2

 

 

 

 

y = - x² + 3/2

 

 

 

 

y = -5x² + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Conclusione: la parabola di equazione y = ax² + c  ha le seguenti caratteristiche:

·        Il vertice ha coordinate …………….

·        L'asse di simmetria θ……………….

·        Non sempre esistono intersezioni con l'asse x.

 

 

 

Casella di testo: y = ax² + bx     (c = 0)

 

 

equazione

Intersezioni con l'asse x

Asse di simmetria

Vertice

y = x² - 2x

 

 

 

 

y = -6x² + 6x

 

 

 

 

y = x² + 2x

 

 

 

 

y = -x² + x

 

 

 

 

 

 

 

Conclusione: la parabola di equazione y = ax² + bx + c  ha le seguenti caratteristiche:

 

·        Le intersezioni con l'asse x esistono sempre e una in particolare θ…………

·        L'intersezione con l'asse y θ solo………………………….