Media ponderata
prerequisiti
Si è studiato che le grandezze derivate come per esempio la densità "accumulano" gli errori derivanti dalle singole misure, è quindi spesso necessario applicare delle tecniche che permettano di ridurre gli errori. Si può operare con strumenti di più alta precisione, si può ripetere la misura con un altro operatore, o si possono effettuare più misure così da mediare tra più valori.
Se i risultati ottenuti hanno diversi valori dell'errore non si può operare con una semplice media tra più valori di misura
m1, m2, m3, m4:

con

o, meglio ancora, applicando la deviazione standard

ma è meglio operare con una media ponderata.

con errore assoluto associato

Per esempio trovate quattro densità per la glicerina C3H8O3
d1 ±Δd1, d2 ±Δ d2, d3 ±Δd3, d4 ±Δd4, per trovare la media ponderata e il relativo errore assoluto si applicano, le ultime formule:
densità in g/cm3Δd(Δd)2d/(Δd)21/(Δd)2
prova 1
1,10
±0,0240,0005761909,7221736,111
prova 2
1,18
±0,05 0,0025  472,000 400,000
prova 3
1,16
±0,13 0,0169   68,639  59,172
prova 4
1,07
±0,12 0,0144   74,306  69,444
calcoli somme 2524,6672264,727
da cui risulta il valore finale per la glicerina di 1,11 ± 0,02 g/cm3.
Il valore reale a 20° risulta 1,26362 e noi essendo fuori dall'intorno di valori esatto possiamo forse pensare che la glicerina di laboratorio fosse un po' annacquata o che ci sia stato un errore nelle misure svolte in laboratorio.

Per esempio trovate quattro densità per il mercurio Hg
d1 ±Δd1, d2 ±Δ d2, d3 ±Δd3, d4 ±Δd4, per trovare la media ponderata e il relativo errore assoluto si applicano, le ultime formule:
densità in g/cm3Δd(Δd)2d/(Δd)21/(Δd)2
prova 1
12,505
±1,5681 2,4590  5.08530,4067
prova 2
13,181
±0,7344 0,5394 24,43621,8539
prova 3
13,385
±1,2766 1,6298  8,21240,6136
prova 4
13,460
±1,0573 1,1178 12,04150,8946
calcoli somme 49,77543,7687
da cui risulta il valore finale per il mercurio di 13,2 ± 0,5 g/cm3.
Il valore reale a 25° risulta 13,534 quindi all'interno del valore sperimentale da noi trovato in laboratorio.
La prova è quindi riuscita con successo.

Bibliografia
Si ringraziano idee e suggerimenti del collega prof. Angelini Andrea.