Come rendere efficace la ricerca per tentativi

Spesso all'inizio gli allievi sparano i tentativi a caso, ed è già un progresso, perché di solito hanno il terrore del casuale. Ben presto si accorgono che se non adottano una strategia valida i tentativi non approdano a nulla: qui si possono innestare vari filoni didattici che portano a toccare vari argomenti che possono essere affrontati anche senza la conoscenza del calcolo letterale.

Intanto, se il docente ha scelto oculatamente i problemi, gli allievi si accorgono che si presentano in due forme: quelli in cui si cerca di raggiungere un risultato prefissato e quelli che si concludono con un confronto tra due risultati provenienti da due serie di calcoli; mentre nel primo caso è intuitivo valutare l'errore commesso come differenza tra il risultato voluto e quello ottenuto, nel secondo vi è all'inizio un pò di indecisione, che di solito sfocia nella conclusione di assumere come errore la differenza tra i due risultati da confrontare: è facile convincere gli studenti ad adottare uno schema unico, in cui la bontà del tentativo è valutata in base al valore di una certa differenza confrontato con zero. E quindi si può riportare il tutto alla ricerca dello zero di una differenza il cui valore dipende dai valori scelti per le incognite. Facile quindi arrivare a parlare di funzioni e di zeri delle funzioni, anche se non lo si è fatto in altre occasioni.

Dopo aver stabilito lo status privilegiato dello zero, gli alunni si accorgono di quanto sia difficile in certi casi avvicinarcisi: questo è un utile esercizio, in cui ci si familiarizza con i numeri decimali e ci si scontra con la loro densità. Inizialmente i miei studenti tendono a considerare solo i numeri interi, poi si avventurano timidamente con i decimi, e quando capiscono che il gioco può essere senza fine, qualcuno abbandona la partita e qualche altro si appassiona al gioco per arrivare al limite delle possibilità della calcolatrice. In ogni caso capiscono che rimane sempre un'incertezza nel risultato raggiunto e non c'è speranza di agguantare il mitico zero. È il momento di guidarli a riflettere sulle approssimazioni, su come si possa valutare la loro adeguatezza in varie situazioni, su come la gran parte dei dati di partenza nei problemi reali siano approssimati e non abbia senso in tale ambito cercare soluzioni con approssimazione migliore. Almeno dovrebbero arrivare a capire che chi pone un problema dovrebbe anche indicare il grado di approssimazione che desidera per la soluzione. Da parte loro gli studenti potrebbero abituarsi a fornire come risultato un intervallo numerico invece che un singolo numero.

La strategia trial & error richiede parecchio tempo e la necessità di ridurlo fornisce la motivazione per iniziare altre esplorazioni.

Se lo studente usa una calcolatrice numerica recente, nota che è più veloce raccogliere i calcoli in una espressione da digitare nella calcolatrice, piuttosto che eseguire una serie di operazioni scollegate memorizzando i risultati parziali. Per i miei allievi questa attività non è banale, perché richiede prima la costruzione dell'espressione [con le difficoltà già dette] e poi la sua trascrizione su un'unica riga, che obbliga ad inserire nuove parentesi, non necessarie nel normale modo di scrivere: anche questa è un'attività che i testi danno per innata, ma se non si fornisce un set di istruzioni chiare e non si fa parecchio esercizio, la maggior parte dimentica le parentesi e sbaglia i calcoli. Questa abilità di passare da un tipo di scrittura all'altro risulta fondamentale anche per l'uso del software matematico in generale, e quindi deve costituire oggetto di attenzione e di lavoro per il docente.

Anche potendo scrivere un'intera espressione, il lavoro con la calcolatrice è abbastanza lento e noioso; ci vorrebbe qualcosa che ricordasse la sequenza dei calcoli e consentisse di cambiare solo il valore di prova. Le soluzioni sono diverse.
Si può ricorrere al foglio elettronico, che permette di ricalcolare la stessa formula senza doverla riscrivere. Il foglio permette anche di testare un intero set di numeri contemporaneamente: è un aumento di potenza incredibile, che dopo un pò lo studente riesce a padroneggiare diventando veloce nella ricerca della soluzione. 
Al posto del foglio si potrebbe anche sfruttare la capacità delle calcolatrici grafiche di definire una funzione e di poterla calcolare per qualsiasi valore o di tabularla in un intervallo.

L'esame delle tabelle prodotte dal foglio elettronico o dalla calcolatrice è un'attività formativa da non sottovalutare, e non tanto semplice, specialmente quando si mescolano vari ordini di grandezza e vari tipi di notazione [tra cui quella scientifica]. Ciò che non è immediato cogliere nelle tabelle è la tendenza, che dovrebbe guidare nella scelta degli intervalli da tabulare: viene naturale quindi ricorrere ai grafici, aiutati dai software appositi. Già le calcolatrici grafiche forniscono un buon risultato in questo senso, anche se con qualche lentezza, ma l'uso del computer rende la cosa molto agevole. L'esperienza fatta mi dice che gli allievi apprendono abbastanza rapidamente e volentieri a maneggiare i grafici alla ricerca degli zeri. Non che la cosa non presenti i suoi punti difficili: di solito la finestra grafica di default non mostra niente, almeno se si scelgono equazioni non banali, per cui la prima sfida è il dimensionamento adeguato della finestra e il suo posizionamento [in questo gli allievi scoprono essere di aiuto la tabulazione dei valori]; poi possono presentarsi situazioni non elementari, come grafici con asintoti verticali, grafici non definiti in una porzione dell'asse x, grafici con pendenze notevoli [che non sempre i programmi riescono a visualizzare correttamente]. Lo studente incontra un campionario di situazioni che lo porta a capire che sarebbe utile una analisi qualitativa dei grafici e quindi dovrebbe predisporlo ad avvicinarsi con interesse allo studio di funzioni degli anni terminali.

Si tenga presente che l'uso di questa potente strumentazione consente di proporre equazioni di qualsiasi tipo, da cui non escluderei neanche esponenziali e logaritmi, che si potrebbero introdurre anche prima di quanto previsto dai programmi. Lo studente dovrebbe ricavarne l'idea che una volta scritta l'equazione poi non è difficile trovarne una soluzione numerica approssimata.