Il problema matematico è quello di determinare una funzione y(x) che soddisfi un'equazione del tipo y¢ =f(x,y) "x Î [a, b] con la condizione y(a)=y₀; la soluzione del problema esiste ed è unica nelle seguenti ipotesi:

1. f è continua nella striscia S={(x,y) : xÎ [a, b], y ÎR}
2. "y, y^* $L > 0 : f(x, y) – f(x, y^*) £ L y-y^* " x Î[a, b].

Tale problema può essere risolto numericamente nel modo seguente: si discretizza l'intervallo d'integrazione considerando l'insieme di nodi x_i+1 = x_i + h_i, i = 0,1,..., dove x₀ è il punto in cui è assegnata la condizione iniziale e h_i sono i passi di discretizzazione. In corrispondenza dell'insieme dei nodi x_i un particolare metodo genera una sequenza di valori y_i che definiscono la soluzione discreta e rappresentano le approssimazioni dei valori y(x_i) della soluzione del problema continuo. I metodi in cui l'approssimazione al passo i+1 dipende solo da quella al passo i sono detti one-step, e si esprimono in generale nella forma:

Descrizione dell'algoritmo

L'algoritmo si basa sui metodi di Runge-Kutta di ordine 4 e 5. Essi esprimono la funzione F come combinazione lineare di valori della funzione f(x, y) in particolari punti, in modo che la soluzione numerica y_i+1 coincida con lo sviluppo di Taylor di f(x_i+1) fino al termine di ordine 4 e 5. La differenza tra le soluzioni ottenute con metodi di ordine diverso fornisce una stima dell'errore commesso. Il passo di discretizzazione h è variato in maniera adattativa in modo che l'errore sia ad ogni passo minore della tolleranza richiesta.

Raccomandazioni sull'uso

Gli estremi dell'intervallo di integrazione devono essere ordinati. Il numero iniziale di intervalli ed il numero di valori da calcolare devono essere positivi. La tolleranza assoluta deve essere non negativa.

f - funzione reale, 2° membro dell'equazione y'=f(x,y)
a - reale, estremo inferiore dell'intervallo
b - reale, estremo superiore dell'intervallo
y0 - reale, valore iniziale in a
m - intero, numero iniziale di intervalli
tol - reale, tolleranza richiesta
n - intero, numero massimo di valori da calcolare

output

x - vettore di reali, punti di griglia
y - vettore di reali, valori della soluzione in x
ifail - intero, indicatore d'errore

      Program ode45d
c     Programma dimostrativo della subroutine ode 45

      external ode45
      
      real f6
      external f6
      
      integer dim
      parameter (dim=100)
      
      real a,b,y0,tol,x(dim),y(dim)
      integer m,n,ifail
      character*12 fout
      
      print*,'*** PROGRAMMA DIMOSTRATIVO DELLA SUBROUTINE ODE45 ***'
      print*
      print*,'Risoluzione dell''equazione y''=-30*y'
      print*
      print*,'Estremi dell''intervallo= '
      read(*,*)a,b
      print*,'Valore iniziale= '
      read(*,*)y0
      print*,'Numero iniziale di intervalli= '
      read(*,*)m
      print*,'Tolleranza richiesta= '
      read(*,*)tol
      write(*,10)'Numero massimo di valori da calcolare max(',dim,')= '
      read(*,*)n
      
      call ode45(f6,a,b,y0,m,tol,n,x,y,ifail)
            
      if (ifail .eq. 2) stop 'Errore! tolleranza assoluta non valida'
      if (ifail .eq. 11) stop 'Errore! numero di punti non valido'
      if (ifail .eq. 23) stop 'Errore! estremi non ordinati'
      if (ifail .eq. 24) 
     %    stop 'Errore! numero iniziale di intervalli non valido'
      if (ifail .eq. 25) 
     %    print*,'Attenzione! estremo destro non raggiunto'
      if (ifail .eq. 26)
     %    print*,'Attenzione! superamento del passo minimo'
      
      print*
      print*,'Nome del file di output= '
      read(*,'(A)')fout
      open(12,FILE=fout)
      write(12,10)'Soluzione tabellata su ',n,' punti:'
      write(12,10)'x='
      write(12,20)(x(i),i=1,n)
      write(12,*)
      write(12,10)'y='
      write(12,20)(y(i),i=1,n)
      close(12)                    
      
      write(*,10)'Soluzione tabellata su ',n,' punti:'
      write(*,30)'x=','y='
      write(*,40)(x(i),y(i),i=1,n)
            
   10 format(1X,A,I3,A)
   20 format(1X,E15.7)
   30 format(1X,A2,14X,A2)
   40 format(1X,E15.7,1X,E15.7)
      
      End