Capitolo 7

Nella formulazione in termini matematici di molti problemi derivanti dalle scienza applicate il modello matematico conduce alla risoluzione di equazioni non lineari f(x)=b. Generalmente si assorbe b in f e l'equazione è ricondotta al calcolo di f(x)=0, cioè alla ricerca degli zeri di una funzione. Se tale funzione è scalare, allora si parla di risoluzione di una equazione lineare, se invece la funzione è vettoriale, si parla di risoluzione di un sistema di equazioni lineari.

In generale i metodi di risoluzione di equazioni non lineari si basano sull'idea della approssimazione successiva della soluzione, questo significa che partendo da uno o più valori iniziali, è generata, mediante un procedimento iterativo, una sequenza di valori che, sotto opportune ipotesi, converge ad una radice di f(x)=0.

Si parla allora di modello lineare quando si approssima la funzione f(x) con un'opportuna funzione lineare l(x) e ad ogni passo di iterazione si costruisce la funzione lineare l(x), si calcola lo zero di l(x) e lo si assume come approssimazione della soluzione.

Diversi sono i metodi iterativi finalizzati a questo scopo: bisezione, regula falsi, metodo di Newton e delle secanti, ecc. ma tutti sono accomunati dal fatto di essere basati su una formula iterativa per generare l'n-esima iterazione a partire da quelle già calcolate, da un criterio per la scelta dell'approssimazione iniziale e da un criterio di arresto che consenta di decidere quando interrompere il processo iterativo.

Una differenziazione di tali metodi può essere fatta tra metodi globali e metodi locali. I primi sono caratterizzati dal fatto che la convergenza è garantita dalla localizzazione di una radice, sono anche detti metodi chiusi perché generano una successione contenuta in un intervallo prefissato, la velocità di convergenza è generalmente lenta ma è compensata dal fatto che essi convergono in ipotesi poco restrittive. I metodi locali, invece, sono caratterizzati dal fatto che la convergenza è garantita se l'approssimazione iniziale è nel dominio di attrazione della radice. Sono anche detti aperti in quanto generano una successione non contenuta in un intervallo , i metodi locali convergono in genere più velocemente di quelli globali ma sono dominati da ipotesi più restrittive.

L'implementazione di un metodo iterativo che determini lo zero della funzione ricercato con ipotesi ragionevolmente restrittive e con una velocità accettabile rappresenta un metodo ibrido, che concilia parte delle caratteristiche dell'uno e dell'altro metodo.