Ogni numero N è evidentemente la media degli elementi di ciascuna delle N/2 coppie di elementi dell’insieme PP(2) che si trovano in posizioni simmetriche rispetto a N; gli elementi di tali coppie sono complementari a 2N, nel senso che la somma degli elementi di ogni coppia è sempre 2N, essendone N la media aritmetica.

I multipli di 3 a partire da 32, costruiti mediante l’algoritmo 2, ricorrono ogni 6 passi (si tratta dei soli multipli dispari di 3), pertanto eliminano la primalità di un elemento su tre dell’insieme PP(2): come conseguenza, l’insieme PP(2,3) contiene i due terzi degli elementi dell’insieme PP(2), organizzati a coppie di elementi dell’insieme PP(2) intervallate da un elemento dello stesso insieme la cui primalità è eliminata dalla ricorrenza di un multiplo dispari di 3. L’insieme PP(2,3) è, per costruzione, l’ultimo degli insiemi PP(2..n) dotato di periodicità perfetta.15

Ogni numero pari 2N precede o segue immediatamente una ricorrenza di elementi dell’in-sieme PP(2,3);16 se N è multiplo di 3, ogni elemento di PP(2,3) compreso fra 0 e N è speculare a un elemento di PP(2,3) compreso fra N e 2N,17 quindi le coppie complementa-ri dell’insieme PP(2,3) in (0,2N) sono in tal caso i due terzi delle coppie di PP(2) nello stesso intervallo, vale a dire N/3.18 Se N non è multiplo di 3, il numero di coppie di elementi di PP(2,3) complementari in (0,2N) dimezza rispetto al caso precedente;19 ne consegue che il numero di coppie complementari di elementi di PP(2,3) in (0,2N) si riduce a N/6. Come conseguenza, se è possibile dimostrare che le ricorrenze dei prodotti di ogni i>3, con i PP(2..h), per se stesso e per i numeri maggiori di i dell’insieme PP(2..h)20 per ogni h dell’intervallo (0,2N)21 sono sempre in numero minore di 2·(N/3) per ogni N o che la loro disposizione entro (0,2N) non è mai tale da interferire, in termini di simmetria di posizione rispetto a N, con tutte le coppie complementari dell’insieme PP(2,3) in esso presenti, è allora possibile affermare che ogni numero intero positivo N è la media di almeno una coppia di numeri primi.22

Ogni numero pari Rn=n# è l’estremo superiore di un sottoinsieme, di natura periodica, dell’ insieme PP(2..n); in tale sottoinsieme gli elementi dell’insieme PP(2..n) sono speculari rispetto a Rn/2 entro i limiti descritti dalla proprietà 6.1. Infatti, se si tiene conto dell’algoritmo 1, i gruppi di elementi di PP(i), costituiti da i–1 numeri, ricorrono sia a partire da zero sia a partire da Rn verso zero con passi i identici. Questa proprietà sussiste per la stessa ragione anche per k·Rn con k intero positivo qualunque, quindi la specularità, oltre a essere interna a (0, Rn), sussiste anche in (0, k·Rn), ossia ogni numero k·Rn/2 è asse di specularità (sempre nei limiti della proprietà 6.1) nell’insieme PP(2..n).23

Rn/4 non è intero per definizione, ma le ricorrenze degli elementi di PP(i) (i=3..n) sono in posizioni simmetriche per costruzione intorno a tale valore nell’intervallo (0,Rn/2); tuttavia, essendo la loro media Rn/4 non intera, una delle due ricorrenze simmetriche rispetto a Rn/4 è un numero pari; perciò le ricorrenze utili alla definizione di numeri primi potenziali da parte di PP(i) (i=3..n) sono in numero metà di quelle effettive, essendo le ricorrenze pari già tenute in conto dall’insieme PP(2); ciò che può avere interesse osservare, quindi, è che le ricorrenze dispari residue sono speculari, rispetto a Rn/4, solo di numeri pari.

Gli elementi dell’insieme PP(2..n) entrano a far parte dell’insieme P, ossia diventano numeri primi, con le seguenti limitazioni:

I multipli dei numeri interi x definiti come in 6.2, a partire da p con p numero dell’insieme PP(2..n) successivo di n, hanno effetto sulla cancellazione della primalità di alcuni elementi di PP(2..n) solo per ricorrenze uguali a x2 o maggiori; infatti i prodotti di p, ..., x per gli elementi di PP(2..n) da 2 a n sono già comparsi durante la costruzione dei sottoinsiemi da PP(2) a PP(n) in quanto costruiti secondo l’algoritmo 2, pertanto non hanno dato luogo a elementi di PP(2..n); come conseguenza le ricorrenze di multipli di x che cancellano alcuni elementi di PP(2..n) sono solo quelle che corrispondono alle potenze di x e ai prodotti di x e sue potenze per tutti gli elementi dell’insieme PP(2..n) maggiori di x e per le loro potenze;

L’intervallo (0,Rp) contiene p intervalli di ampiezza Rn essendo Rp = p·Rn; in ciascuno dei p intervalli la specularità degli elementi di PP(2..n) intorno alla mezzeria dell’intervallo stes-so si estende all’intero intervallo, con le limitazioni poste dalla proprietà 6.1 per il primo e l’ultimo intervallo e dalla 7 per le cancellazioni dovute ai multipli di p al di sopra di p2 in (0,Rp). Gli elementi di PP(2..p) sono a loro volta speculari fra p+1 e Rp–(p+1); le cancellazioni di cui al punto 7 rendono diversi tra loro, in termini di eliminazioni di primalità, i vari intervalli (k·Rn,(k+1)·Rn) di ampiezza Rn entro (0,Rp), ma speculari a coppie rispetto a Rp/2 per quanto concerne gli elementi di PP(2..p), sempre con l’eccezione del primo e dell’ultimo a causa della proprietà 6.1.26

La specularità descritta dalla proprietà 4 indica che contando da Rn a zero si trovano in progressiva detrazione da Rn elementi PP(2..n) nello stesso numero e speculari rispetto a quelli che si trovano contando da zero a Rn, con la sola limitazione 6.1; come conse-guenza la cancellazione dell’elemento di PP(2..n) dovuta a p2 dista da Rp di un prodotto di  p per un numero intero d che è primo oppure è un prodotto di numeri primi dell’intervallo (p, Rn/p)27 e non è una potenza di p;28 a ciò consegue anche che tale distanza, divisa per  p, non è divisibile per i numeri primi da 2 a p; formalmente:
(Rp– p2)/p = 2·3·...·n – p = Rn– p,
che non è multiplo di numeri da 2 a p ed è compreso in (0,Rn), quindi è un numero primo o un prodotto di numeri primi compresi fra p e Rn/p.29

Le cancellazioni di elementi dell’insieme PP(2..n) dovute ai multipli di p sono intervallate come descritto dall’algoritmo 2 secondo i prodotti di p per se stesso e per gli elementi dell’insieme PP(2..n) maggiori di p; anche le cancellazioni interne all’insieme PP(2..n) avvengono secondo la medesima regola, quindi sono distanziate a partire da i2 (i=2..n) per prodotti di i per i numeri di PP(h) maggiori di i.30 L’ultimo elemento di PP(2..n) in (0,Rn) è sempre Rn–1, quindi (Rn–1)·p=Rn·p–p=Rp–p, ossia l’ultima cancellazione di elementi dell’insieme PP(2..n) in (0, Rp) è Rp–p (di qui la proprietà 6.1). Pertanto i numeri del ciclo p utili alla cancellazione di alcuni elementi di PP(2..n) in (0, Rp) sono in quantità uguale agli elementi di PP(2..n) a partire da p fino a Rn–1.31 Nell’intervallo (0,Rn) tali cancellazioni ricorrono evidentemente solo se l’elemento dell’insieme PP(2..n) interessato è minore di Rn/p.32

Gli elementi dell’insieme PP(2..n) di (0,Rn) fino a x, con x>n, sono contro-speculari, rispetto a Rx/2, degli elementi di (0,Rx) compresi fra (Rx–x,Rx–2) per la proprietà 6.1; ciò non ha influenza tuttavia sull’intervallo (Rn–n,Rn–2), che per simmetria di posizione (algoritmo 1) può contenere solo i multipli di tutti i semi fino a n.33 Per la stessa ragione i multipli di x non hanno influenza sugli omologhi intervalli (di estensione n–2) simmetrici rispetto a Rn e ai suoi multipli minori di Rx. Come conseguenza i multipli di x efficaci ai fini delle cancellazioni, e quindi in grado di causare ulteriori eventuali contro specularità, si situano nei rimanenti intervalli
(k·Rn+n,(k+1)·Rn–n) con k=0, 1, 2, ..., (x–1)
Questi ultimi intervalli aumentano la propria estensione secondo n#–2n, mentre gli intervalli sempre contro-speculari per la proprietà 6.1 aumentano secondo 2n; pertanto l’estensione relativa a Rn degli intervalli sempre contro-speculari è 2n/Rn=2/Rm con m numero primo che precede n, ossia decresce in proporzione inversa a m#. Inoltre le cancellazioni in (0,Rx) procedono a partire da p2 secondo gli elementi di PP(2..n) maggiori di p moltiplicati per p, mentre la specularità intrinseca di ciascuno degli intervalli
( k·Rn, (k+1)·Rn)
è fondata unicamente sui numeri primi da 2 a n. Come conseguenza:

Un numero pari 2N contiene altri fattori primi, oltre a 2, oppure è potenza di 2. Se N contiene un altro fattore primo a, le ricorrenze dei multipli di a sono speculari intorno a N. I multipli del numero primo b che non è fattore di N si situano, per la medesima ragione, specularmente solo intorno al prodotto di b per i fattori di N,38 quindi non presentano specularità intorno a N. Se 2N è potenza di 2, tutti gli altri numeri primi sono del tipo b, quindi le ricorrenze dei loro multipli sono disposte simmetricamente solo intorno ai loro prodotti per la potenza di 2 stessa,39 pertanto non presentano specularità intorno a N. In tutti i casi senza distinzione è dunque evidente che i numeri primi dell’intervallo (0,2N) hanno come simmetrici, rispetto a N, altri numeri primi oppure prodotti di numeri primi compresi nell’intervallo (0,N)40 con le seguenti precisazioni:

Precisazioni sulla disposizione dei numeri pari:

In opportune rappresentazioni “a greca”,45 le ricorrenze dei multipli di p si dispongono lungo le diagonali di quadrati di lato p. Ogni diagonale individua su ciascuna delle colonne di primi potenziali una ricorrenza utile (cancellazione). La “greca”, per rendere evidente questa proprietà, deve avere modulo 2k·p+1.46

 15.

Priva di anomalie (intese come assenze di elementi del ciclo in quanto già considerati in cicli precedenti). La periodicità è rilevabile anche negli insiemi PP(2..n) con n > 3, ed è anzi la medesima, solo scalata in ragione di n, ma interferita (privata di elementi) dalle ricorrenze dei prodotti di n per i, con 3 i < n, già intervenute nei cicli relativi. In sostanza il ciclo i e il ciclo n si intersecano in corrispondenza dei prodotti di tutte le potenze di i per tutte le potenze di n, e i punti di intersezione non sono elementi di PP(2..n), non essendo numeri primi per definizione. Anche tali intersezioni sono evidentemente cicliche, quindi è possibile, ancorché utile, individuare e descrivere le ciclicità connesse ai prodotti i·n. Nel ciclo 3, essendo già assenti da PP(2) i numeri pari, sono i prodotti di 3 per tutti i numeri dispari 3 a causare cancellazioni: di qui la “perfezione” del ciclo 3.

 16.

L’Appendice 2 ne dà una visualizzazione immediata.

 17.

Ossia i due elementi sono complementari a 2N.

 18.

Vedasi anche la proprietà 13 per precisazioni.

 19.

Lo spostamento di N di un passo a destra o a sinistra rispetto a un multiplo di 3 rende speculari rispetto a N rispetti-vamente gli elementi di destra e di sinistra di due coppie successive di elementi di PP(2,3), mentre gli altri elementi delle due coppie hanno come complemento un elemento di PP(2) cancellato dalle ricorrenze dei multipli di 3.

 20.

Con h numero primo precedente di i.

 21.

Con i limiti della nota 12 (proprietà 7)

 22.

Questo è un altro enunciato possibile della congettura di Goldbach come rettificata da Eulero. La tecnica qui adottata per analizzarla non si basa comunque su questa proprietà, in sé troppo generica.

 23.

La specularità naturalmente ha termine, a sinistra di k·Rn/2, con lo zero se non si mette in conto la nota 6.

 24.

Vedasi anche proprietà 13.

 25.

Si tratta di una contro-specularità anomala, in cui un numero primo i è in posizione simmetrica, entro (0,Rn) intorno a Rn/2 , rispetto al proprio multiplo Rn–i. Es.: con Rn = 210, 205 = 5·41 è contro-speculare di 5 intorno a 105. L’anomalia è costituita dal fatto che la ricorrenza n·1 è un numero primo.

 26.

Gli insiemi PP(2..n) sono sempre speculari per costruzione intorno a k·Rn/2 (proprietà 4 con la sola limitazione 6.1). Ciò implica che le cancellazioni dovute a ogni ciclo i < n a partire da i2 sono in numero pari e che il loro inizio si allontana dall’origine, e specularmente da Rn, con legge quadratica o “parabolica”.

 27.

p2+p·d=Rp da cui p+d=Rn, pertanto d è primo o prodotto di primi maggiori di p e minori di Rn/p. Se Rn/p< p, vale a dire se Rn< p2, allora d è sicuramente un numero primo (ciò accade solo fino a Rn=30).

 28.

p2+pa=p2(1+pa–2)=Rp è paradossale, infatti (1+pa–2) = Rp/p2 ha il primo membro intero e il secondo non intero dato che Rp contiene p solo al primo grado.

 29.

La formula Rn–p genera un elemento di PP(2..n) per definizione, p non essendo fattore di Rn; lo stesso vale per Rn+p, che ha posizione speculare rispetto a Rn.

 30.

Con h numero primo potenziale immediatamente minore di i nell’insieme PP(h). Le cancellazioni interne si situano specularmente intorno a Rn e Rn/2 con la limitazione 6.1.

 31.

Tali PP(2..n) includono anche le potenze di p, mai cancellate fino all’intervento del ciclo p a partire da p2. Esempio: gli elementi di PP(2..5), per i quali Rn=30, utili alla cancellazione di elementi dell’intervallo (0,R7=210) partono da 7 (prima cancellazione 49) e arrivano a 30–1=29, infatti l’ultima cancellazione corrisponde al numero 203, che non cade nella specularità a causa della proprietà “anomala” 6.1.

 32.

Esempio: se n=7, Rn = 210 e p=11; int (210/11)=19, ossia solo gli elementi di PP(2..n) fino a 19 incluso a partire da 11, moltiplicati per p, hanno effetto nella cancellazione di elementi di PP(2..n) nell’intervallo (0,Rn) a causa del ciclo p. In questo caso si hanno quattro cancellazioni sui 49 elementi di PP(2..n) compresi nell’intervallo.

 33.

Quindi x in (0,Rn) fa necessariamente parte degli elementi speculari rispetto a Rn/2, ossia è speculare a un numero primo.

 34.

Contati evidentemente a partire da zero.

 35.

Poiché PP(2,5) contiene come cancellazioni gli elementi dell’insieme PP(2,3) moltiplicati per 5 a partire da 52, anche in esso esistono le medesime regolarità cicliche, tuttavia al negativo trattandosi di cancellazioni. Tali cancellazioni sono speculari entro (0,R5) con ricorrenze in PP(2,5), a partire da p2, distribuite a coppie distanti 4p e internamente di-stanziate di 2p, ossia con la stessa distribuzione degli elementi di PP(2,3) scalata della quantità p. Ciò è vero tuttavia anche per ogni altro elemento di PP(2,3) maggiore di 5, infatti gli elementi successivamente cancellati non sono altro che quelli residui di PP(2,3) e quindi ne conservano la ciclicità, benché interrotta dalle cancellazioni dovute al ciclo 5. Queste ultime partono da 25 e si susseguono distanziate ciclicamente di 10 e di 20 passi, quindi cancellano due ele-menti su 10 in un ciclo di estensione10+20. In altre parole, l’insieme PP(2,3) rimane dominante. Il ciclo 7, a sua volta, partendo da 49, ha un periodo di 14+28 elementi, eliminando quindi due elementi su 14 di PP(2,3), che tuttavia sono ridotti in quanto elementi di PP(2,5), già privi dei prodotti di 5 e di 7 elevati a qualunque potenza (Appendice 2).

 36.

Vedasi anche nota 12.

 37.

Ciò che accade in intervalli più ampi, ossia le cancellazioni dovute al ciclo y, non ha effetto nell’intervallo (0,Rn).

 38.

Ciascuno con qualunque potenza.

 39.

E multipli dei prodotti stessi.

 40.

Quelli dell’intervallo (N,2N) sono evidentemente maggiori di N, quindi non possono avere propri multipli entro (0,2N).

 41.

Tenuto conto del fatto che N può essere pari o dispari, del fatto che si tratta di divisione intera e infine dell’“anomalia” costituita dai numeri 1 e 2, queste formule non sono esatte ma solo indicative.

 42.

In caso contrario sarebbero fattori di N, distandone di un multiplo intero di b.

 43.

Coppie contate come elementi compresi fra N e 2N, ossia senza tenere conto delle “anomalie” in vicinanza dello zero.

 44.

Tutte queste regole, in quanto geometricamente basate sull’algoritmo 1, non tengono conto delle “anomalie” ricorda-te nella nota precedente.

 45.

Appendice 2.

 46.

Appendice 2.2.