Teoria dei modi accoppiati

Ammettendo idealmente l'esistenza delle due soluzioni degeneri $HE_{1,1}^{x}$ e $HE_{1,1}^{y}$, il campo totale si può scrivere come combinazione lineare delle due soluzioni di base nello rappresentazione di Steinmetz

$$\mathbf{E}(x,y,z)=\left[a_{x} \mathbf{E}_{x}(x,y) + a_{y} \mathbf{E}_{y}(x,y) \right] e^{-jkz} ,$$ (2.5.1)

dove con $\mathbf{E}_{x}(x,y)$ e $\mathbf{E}_{y}(x,y)$ si indicano rispettivamente i campi elettrici di $HE_{1,1}^{x}$ e $HE_{1,1}^{y}$, $k$ è la costante di propagazione e i coefficienti $a_{x}$ e $a_{y}$ sono quantità costanti in generale complesse ^2.1.

Per risolvere il problema della fibra reale si ricorre al metodo delle piccole perturbazioni, ovvero si suppone inalterata la struttura delle soluzioni e si riduce l'evoluzione del sistema alla variazione dei coefficienti lineari $a_{x}$ e $a_{y}$ rispetto alla coordinata propagativa $z$ .

In queste ipotesi la 2.5.1 può essere riscritta nella forma

$$\mathbf{E}(x,y,z)=\left[a_{x} E_{x}(x,y) \mathbf{x} + a_{y} E_{y}(x,y) \mathbf{y} \right] e^{-jkz} :$$ (2.5.2)

imponendo che la 2.5.2 sia soluzione dell'equazione di Maxwell per mezzi disomogenei ed anisotropi,

$$\nabla^2 \mathbf{E} + \omega^2 \mu_0 (\epsilon + \mathbf{\tilde{\epsilon}} )\mathbf{E} -\nabla(\nabla \cdot \mathbf{E})=0,$$ (2.5.3)

dove con $\omega$ si indica la frequenza angolare del campo elettromagnetico, $\mu_0$ ed $\epsilon$ sono la permeabilità magnetica ed elettrica. Con $\mathbf{\tilde{\epsilon}}$ invece si indica in generale la matrice delle perturbazioni introdotte dalla guida in esame; nell'ipotesi che le perturbazioni siano piccole e trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo si perviene al seguente sistema di equazioni differenziali lineari per $a_{x}$ e $a_{y}$

$$\frac{d a_{x}}{d z} = -j\left[ k_{xx} a_{x}(z)+ k_{xy} a_{y}(z)\right]$$ (2.5.4)

$$\frac{d a_{y}}{d z} = -j\left[ k_{yx} a_{x}(z)+ k_{yy} a_{y}(z)\right]$$ (2.5.5)

in cui con $k_{ij}$ si indicano quantità legate da relazioni integrali alle ampiezze dei campi e alle perturbazioni del dielettrico.

Per chiarire il significato di coefficienti $k_{ij}$ è sufficiente verificare che se $k_{xx}\neq k_{yy}$ i due modi risultano non degeneri, pertanto hanno costanti di propagazione differenti e danno vita a fenomeni di battimento. I coefficienti $k_{xy}$ e $k_{yx}$ indicano invece l'accoppiamento tra i modi $HE_{1,1}^{x}$ e $HE_{1,1}^{y}$ e non influiscono sulle costanti di propagazione dei modi; inoltre nell'ipotesi di assenza di perdite si ha che $k_{xy}=k_{yx}^*$^2.2.

In fibra pertanto possono presentarsi fenomeni di battimento tra i modi se $k_{xx}\neq k_{yy}$ e $k_{xy}=0$; se invece $k_{xy}\neq 0$ e $k_{xx}=k_{yy}$ l'unico fenomeno a cui si assiste è quello di scambio di potenza fra i modi del sistema durante la propagazione in direzione z.