Definizione della PMD

La dispersione dei modi di polarizzazione è caratterizzata dal vettore $\mathbf{\Omega}(\omega)$ nello spazio cartesiano dei vettori di stokes, come evidenziato in figura 2.5. Al variare della frequenza angolare dell'onda elettromagnetica che attraversa il mezzo, lo stato di polarizzazione in uscita, indicato in figura 2.5 con $\mathbf{s}$, precede attorno al vettore di PMD $\mathbf{\Omega}$.

La relazione che lega la frequenza con l'evoluzione dello stato di polarizzazione si scrive nella forma

$$\mathbf{s}'_{out}(\omega)=\frac{d \mathbf{s}_{out}}{d \omega}=\mathbf{\Omega} \times \mathbf{s}_{out} ,$$ (2.3.1)

indicando con l'apice il generico vettore differenza tra lo stato di polarizzazione $\mathbf{s}$ e il successivo.

Figura 2.6: A sinistra: Evoluzione dello stato di polarizzazione al variare della frequenza angolare di un onda elettromagnetica che si propaga in un mezzo a birifrangenza uniforme. A destra: Evoluzione dello stato di polarizzazione al variare della frequenza angolare di un onda elettromagnetica che si propaga in una fibra ottica, cartterizzata come successione di sezioni a birifrangenza costante e orientazione degli assi a distribuzione uniforme.

Il modulo del vettore di PMD è il DGD accumulato dal segnale che si propaga sull'asse lento fissando gli assi di birifrangenza sui PSP. Sulla sfera di Poincarè i PSP sono quei due stati di polarizzazione indicati dal vettore $\pm\frac{ \mathbf{\Omega}}{\vert\mathbf{\Omega}\vert}$; in base a tale definizione e alla relazione 2.3.1 si vede come i PSP siano autostati di polarizzazione che rimangono inalterati al primo ordine anche se il mezzo è affetto da PMD.

Per un tratto di fibra a birifrangenza costante il vettore di PMD $\mathbf{\Omega}$ rimane fermo sulla sfera, e lo stato di polarizzazione in uscita evolve attorno a $\mathbf{\Omega}$, come mostrato in figura 2.6 a sinistra. Nelle reali fibre per telecomunicazioni invece, dove la birifrangenza non è costante, bensì gli assi di birifrangenza hanno distribuzione unifome nell'intervallo $[0, 180]$ gradi, l'effetto dell'accoppiamento tra i modi detrmina l'evoluzione casuale rispetto alla frequenza della direzione del vettore $\mathbf{\Omega}$ e quindi quella del SOP di uscita, come mostrato in figura 2.6.

Tuttavia si può ritenere che il DGD e i PSP possano considerarsi costanti per un segnale a banda stretta, in questo senso si indica il DGD come l'effetto della PMD al primo ordine. Espandendo $\mathbf{\Omega}$ in serie di Taylor si definiscono gli effetti agli ordini superiori, pertanto si indica con SOPMD, per Second Order Polarization Mode Dispersion, la derivata rispetto alla frequenza angolare $\omega$ del vettore $\mathbf{\Omega}$.