Analisi con le matrici di Jones

Il formalismo di Jones [8] [7] appare più adatto per implementare il calcolo delle dipendenze del DGD e SOPMD, pertanto si è pensato di utilizzarlo per le valutazioni con Mathematica, che eseguendo il calcolo in forma chiusa possono sviluppare espressioni di notevole complesità.

Dapprima è stato implementato con Mathematica il calcolo del DGD e SOPMD per un sistema a sei lamine in configurazione a quattro lamine equivalenti. La prima coppia di lamine, che costituisce la prima lamina equivalente, è caratterizzata solamente dalla quantità

$$\tau_{eq_{1}}=\tau_{l_{1}}+\tau_{l_{2}} ,$$ (4.1.1)

ed è posta a zero gradi, in modo da costituire il riferimento per l'orientazione dei successivi stadi di lamine.

Il secondo e terzo banco di lamine sono costituiti da una sola lamina, rispettivamente caratterizzate dagli angoli $\alpha_{1}$ e $\alpha_{2}$ e dai DGD delle singole lamine

$$\tau_{eq_{2}}=\tau_{l_{3}}$$

$$\tau_{eq_{3}}=\tau_{l_{4}}$$

dove vale la relazione $\alpha_{2}= \alpha_{1}+\epsilon$, in cui si indica con $\epsilon$ il disallineamento della terza lamina rispetto alla seconda. Per $\epsilon=0$ si ritrova il sistema a tre lamine equivalenti, con le stesse idealmente allineate. La quarta lamina equivalente infine è costituita da due lamine, ed è caratterizzata dalla quantità

$$\tau_{eq_{4}}=\tau_{l_{5}}+\tau_{l_{6}} ,$$ (4.1.2)

ed è associata all'angolo $\beta$ .

Si vorrebbe in questo modo valutare quanto si discosta il sistema a quattro lamine equivalenti per $\epsilon\in\left[-1 ,+1 \right]$ in gradi, da quello ideale a tre lamine equivalenti.

Implementando il sistema con le matrici di Jones dopo il calcolo delle matrici di rotazione associate a ciascuna lamina equivalente si perviene al calcolo del DGD

$$\Delta\tau=\sqrt{q_{1}^{2}+\vert q_{2}\vert^{2}}$$ (4.1.3)

$$Q=\frac{\partial B}{\partial \omega} B^{*}=\left[ \begin{array}{cc} q_{1} & -q_{2}^{*} q_{2} & q_{1}^{*} \end{array}\right]$$ (4.1.4)

$$B=\prod_{i=1}^{6} B_{i} \;\;\;\;\; B= R(-\vartheta_{i}) J(\tau_{i}) R(\vartheta_{i})$$ (4.1.5)

Il programma calcola la forma chiusa dell'espressione del DGD, tuttavia non riesce a valutare nemmeno numericamente l'espressione del SOPMD, che risulta essere troppo complicata. Inoltre Mathematica non riesce a valutare la derivata del modulo, anche sostituendo i valori numerici.

Pertanto con le matrici di Jones non si perviene al alcuna conclusione numerica o grafica per un sistema a tre lamine equivalenti riguardo la derivata del DGD e SOPMD, tuttavia i valori di DGD risultano confrontabili con quelli trovati durante simulazioni in ambiente $Matlab^\circledR$ sul medesimo sistema.

Si può concludere pertanto che l'analisi col metodo di Jones in ambiente Mathematica non si presta al calcolo in forma chiusa della derivata del DGD e SOPMD rispetto al disallineamento delle lamine, vista la notevole complessità che tale calcolo sviluppa.

Nelle valutazioni successive pertanto verrà utilizzato l'ambiente $Matlab^\circledR$, ricordando comunque che la corrispondenza del modello analitico con quello numerico può ritenersi dimostrata.