Valutazione delle configurazioni possibili

In questa fase si intende sviluppare l'analisi delle potenzialità del sistema formato dalle sei lamine; si intende svolgere una valutazione delle configurazioni a lamine eqivalenti che offrono le migliori prestazioni intese come maggiore quantità possibile di coppie DGD - SOPMD riducendo il numero di gradi di libertà del sistema.

Inoltre si vogliono valutare le combinazioni di lamine che rendono il sistema più stabile possibile in termini di robustezza all'errore di posizionamento. Vengono introdotti come parametri di qualità anche il gradiente rispetto ai parametri angolari, e la derivata rispetto alla frequenza, sia al primo che al secondo ordine.

Si ritiene che un sistema a tre lamine equivalenti possa essere un giusto compromesso tra complessità e densità di coppie in uscita, pertanto sono state svolte simulazioni per sistemi a tre lamine equivalenti in tutte le possibili combinazioni, sia per quanto riguarda la scelta di come aggregare le lamine a formare lamine equivalenti, sia riguardo alla scelta di quali lamine aggregare.

Disponiamo infatti di sei lamine birifrangenti, di spessore differente a due a due, pertanto abbiamo a disposizione tre tipi di lamine che chiameremo per comodità di tipo A, B e C. In tabella 3.1 sono riassunte le caratteristiche di base delle lamine utilizzate.

Tabella 3.1: Caratteristiche delle lamine e loro classificazione

Numero	Spessore [mm]	Tipologia
1	9.8	A
2	9.8	A
3	11.9	B
4	12.0	B
5	14.1	C
6	14.2	C

In base alla suddivisione di tabella 3.1 si può introdurre una nomenclatura che individui precisamente e univocamente la configurazione di lamine in esame. Tale combinazione sarà d'ora in poi descritta, nel caso di sistema a tre lamine equivalenti, da una serie di tre numeri e sei lettere; i numeri indicano il numero di lamine che costituiscono da sinistra a destra ciascuna lamina equivalente, mentre le lettere indicano come sia costituita la successione di lamine.

Nel sistema a tre lamine equivalenti indicato con 231 - AABBCC la prima lamina equivalente è costituita da due lamine di tipo A, la seconda da tre lamine di tipo rispettivamente B, B e C, mentre la terza lamina equivalente è costituita da una sola lamina di tipo C.

Sono state svolte in ambiente $Matlab^\circledR$ diverse simulazioni posizionando gli assi di birifrangenza delle lamine di una stessa lamina equivalente a novanta gradi l'uno rispetto all'altro, in modo da ottenere DGD della lamina equivalente molto piccoli, e pari al modulo della differenza tra i DGD delle singole lamine.

Le migliori prestazioni si ottengono con configurazioni di lamine equivalenti ottenute allineando gli assi di birifrangenza di lamine contigue; in questo modo si ottiene un numero di coppie DGD - SOPMD maggiore rispetto alle altre configurazioni.

Per ottenere valori piccoli di DGD è necessario che vi sia perfetta compensazione tra i DGD delle lamine equivalenti in posizione 0-90-0. Danno buoni risultati in questo senso le configurazioni 222 - AABCBC ma anche la 312 - AABCBC e 312 - AABBCC.

Figura 3.1: Caratteristiche del sistema in configurazione 312-aabcbc

Le sopracitate configurazioni risentono meno di altre alla derivata in frequenza al primo e secondo ordine, e mediamente dimostrano maggiore robustezza rispetto agli errori di posizionamento essendo caratterizzate da un gradiente medio del DGD e SOPMD abbastanza ridotto, seppur dotato di qualche picco.

Si può concludere quest'analisi di base sostenendo che le configurazioni in grado di offrire maggiore dinamica in uscita sono quelle in cui tutte le lamine equivalenti hanno gli assi allineati. Inoltre si ottengono migliori prestazioni utilizando successioni di lamine tali da permettere una più efficace compensazione del DGD al primo ordine.

Tali configurazioni garantiscono altresì maggiore stabilità agli errori di posizionamento e a deviazioni di frequenza, mantenendo tuttavia configurazioni di angoli per cui le derivate in frequenza o i gradienti raggiungono valori notevoli. Si può garantire comunque che tali configurazioni di angoli forniscono coppie DGD - SOPMD ridondanti nella maggior parte dei casi, coppie che potrebbero essere ottenute con altre configurazioni dotate di parametri di qualità più favorevoli.

Tra le configurazioni a lamine equivalenti indicate sopra è stata scelta per le successive prove e simulazioni, in particolare per il test dell'algoritmo genetico, la configurazione 312-AABCBC. Tale configurazione di lamine è quella che garantisce in uscita dall'emulatore sia un insieme sufficientemente denso di coppie DGD - SOPMD, come si vede dalla figura 3.3, sia presentando valori contenuti di derivata rispetto alla frequenza angolare e del gradiente del DGD e SOPMD.

Figura 3.2: Diagramma della derivata del DGD in uscita dal sistema in configurazione 312-aabcbc rispetto alla pulsazione angolare. In ascissa l'angolo della seconda lamina equivalente, in ordinata l'angolo sulla terza lamina equivalente.

In figura 3.1 sono rappresentate le caratteristiche salienti della configurazione a tre lamine equivalenti 312-AABCBC che ci inducono a scegliere tale configurazione per le successive simulazioni. Le due immagini in alto della sopracitata figura mostrano l'evoluzione del DGD e del SOPMD, evidenziando in giallo le zone in cui il gradiente rispettivamente del DGD e del SOPMD risulta inferiore alla metà del valore medio.

Graficamente si individuano ampie zone in cui si può considerare il sistema robusto rispetto agli errori di posionamento delle lamine, inoltre i valori massimi dei gradienti, evidenziati nella parte bassa della figura 3.1, risultano inferiori a quelli trovati per altre configurazioni.

Come si vedrà al capitolo successivo, le configurazioni che dispongono di due lamine nella lamina equivalente centrale sono maggiormente instabili in quanto gli effetti di un eventuale disallineamento vengono amplificati dalla lamina equivalente centrale, pertanto la configurazione in esame si presenta robusta anche da questo punto di vista.

Inoltre come si può vedere dalla figura 3.2 gli effetti di un'eventuale scostamento in frequenza del laser possono considerarsi trascurabili per quasi tutte le configurazioni angolari.

Figura 3.3: Diagramma delle coppie DGD-SOPMD raggiungibili dal sistema in configurazione 312-aabcbc

A questo livello è stata fatta una scelta quantitativa, nel senso che sono stati isolate le configurazioni più promettenti dal punto di vista della stabilità e della quantità di coppie raggiungibili in uscita, in seguito diverrà nostro scopo lo scegliere in modo qualitativo tra le configurazioni angolari di un sistema a lamine equivalenti, in modo individuare e scartare quelle soluzioni ridondanti che non offorno sufficienti garanzie di stabilità.