Sistema a lamine equivalenti

In questo paragrafo si introduce il concetto di lamina equvalente che in seguito ci permetterà di utilizzare tutte e sei le lamine a disposizione riducendo tuttavia i gradi di libertà del sistema.

Una lamina equivalente è formata da due o più lamine adiacenti, i cui assi di birifrangenza sono perfettamente allinati, e che vengono mosse in modo sincrono. Utilizzando il formalismo di Müller si verifica facilmente che una lamina equivalente si comporta teoricamente come una lamina singola il cui DGD è pari alla somma dei DGD delle singole lamine che la costituiscono, in ipotesi di perfetto allineamento.

In questa fase vengono introdotte e utilizzate le lamine equivalenti considerando che le lamine che le costituiscono siano perfettamente allineate, si ritornerà in seguito a valutare come possano variare le condizioni di uscita nel caso in cui non si possano considerare le stesse in condizione di perfetto allineamento.

Utilizzando il formalismo di Müller per due lamine adiacenti, in condizione di perfetto allineamento, che ruotano in modo solidale, si definisce la matrice di birifrangenza della singola lamina nella forma :

$$M_{i}(\omega)=\left[\begin{array}{c c c} 1 & 0 & 0 \ 0 & \cos (\... ...\Delta \tau_{i} \omega) & \cos (\Delta \tau_{i} \omega) \ \end{array} \right],$$ (3.1.1)

che mantiene l'informazione riguardo la frequenza angolare e la caratteristica di DGD della singola lamina. La matrice di rotazione associata, definita in base al generico angolo di rotazione $\theta$, assume invece la forma

$$R_{i}(\theta)=\left[\begin{array}{c c c} \cos (2 \theta_{i}) & \s... ... (2 \theta_{i}) & \cos (2 \theta_{i}) & 0 \ 0 & 0 & 1 \ \end{array} \right] .$$ (3.1.2)

Dalla matrice di Müller di birifrangenza e dalla matrice di rotazione i-esima si ottiene la matrice caratteristica della lamina i-esima $B_{i}(\omega, \theta_{i})$, che descrive il comportamento della lamina nel sistema al variare della frequenza angolare e dell'angolo compreso tra le due,

$$B_{i}(\omega, \theta_{i})=R_{i}\cdot M_{i} \cdot R_{i}^{-1}$$ (3.1.3)

Pertanto per la coppia di lamine adiacenti posizionate allo stesso angolo, quindi con $\theta_2=\theta_1$ e idealmente allineate, si scrive

$$B_{i}(\omega, \theta_{1},\theta_{1})=B_{2}(\omega, \theta_{2})\cd... ...R_{2}^{-1} \cdot R_{1}\cdot M_{1} \cdot R_{1}^{-1}=R \cdot M_{2,1} \cdot R^{-1}$$ (3.1.4)

forma equivalente a quella di una sola lamina con DGD pari alla somma dei due DGD delle lamine accoppiate.