Effetti al secondo ordine

In questo paragrafo si darà qualche cenno riguardo la dispersione dei modi di polarizzazione al secondo ordine. La necessità di un bit-rate elevato e quindi di un allargamento della banda ci costringono a rivedere le approssimazioni sullo spettro sinora ritenute valide. Più esattamente, nella descrizione del primo ordine si era supposto che sia il DGD che i PSP fossero indipendenti dalla frequenza; in una approssimazione al secondo ordine si è invece costretti ad ammettere che:

$$\mathbf{\Omega} (\omega + \Delta \omega)=\mathbf{\Omega} (\omega)... ... q + (\Delta \tau_{\omega} \hat q + \Delta \tau \hat q_{\omega}) \Delta \omega.$$ (2.9.1)

Come si può notare dalla 2.9.1, gli effetti del secondo ordine sono rappresentati dalla dipendenza lineare di $\mathbf{\Omega}$ dalla frequenza attraverso $\Delta \tau_{\omega}$ e dalla rotazione lineare dei PSP con velocità angolare $\hat q_{\omega}$.

In termini di propagazione, $\Delta \tau_{\omega}$ introduce una dispersione cromatica che comporta una distorsione dell'impulso mentre $\hat q_{\omega}$ causa una rotazione dei PSP che genera depolarizzazione dell'impulso [4].

Svolgendo il calcolo della derivata del vettore $\mathbf{\Omega}$ si ottiene

$$\mathbf{\Omega}_{\omega}=\Delta \tau_{\omega} \hat q + \Delta \tau \hat q_{\omega} .$$ (2.9.2)

Si noti che $\hat q_{\omega}$ risulta perpendicolare al vettore $\hat q$, mentre la componente $\Delta \tau_{\omega}$ rimane parallela a tale vettore.

Si conclude precisando che l'allargamento progressivo della banda comporta la necessità di troncare lo sviluppo in serie di $\mathbf{\Omega}$ a termini successivi al primo, determinando quindi la dipendenza quadratica (cubica, ecc.) di $\mathbf{\Omega}$ dalla frequenza.

La descrizione formale al secondo ordine e a quelli successivi può essere affrontata anche mediante l'espansione in serie della matrice di Jones attorno alla frequenza portante, tuttavia tale formalismo verrà introdotto in seguito ove necessario.