Per dimostrare il T. di Pitagora si può utilizzare il seguente disegno
eseguito con GeoGebra
L'immagine dovrebbe essere "dinamica" ad esempio il punto I deve scorrere lungo il lato.
Sapreste dimostrare l'area di Q1 più l'area Q2 è uguale a Q3 ?
Sapreste dimostrare che Q3 è un quadrato (4 lati uguali e 4 angoli retti)
Una diversa scomposizione dei quadrati è data da una versione cinese del T. di Pitagora
Nella figura sono rappresentati i tre quadrati costruiti sui lati del triangolo rettangolo
ABC.
I quadrati costruiti sui cateti vanno scomposti in modo da ricoprire esattamente il
quadrato costruito sull'ipotenusa.
Per eseguire una dimostrazione ci si deve concentrare sugli angoli e trovare tanti angoli a due
a due complementari o uguali.
Il T. di Pitagora può essere esteso ai poligoni regolari costruiti sui lati del triangolo rettangolo:
la somma delle aree dei triangoli equilateri costruiti sui cateti eguaglia l'area del triangolo
equilatero costruito sull'ipotenusa e analogamente per tutti i poligoni regolari.
In quest'ultimo foglio di lavoro di GeoGebra, il valore del numero di lati n si può
cambiare con un cursore (slider). Nella definizione dei poligoni regolari basterà scrivere n
come numero dei lati.
Per la dimostrazione si parte ovviamente da un triangolo rettangolo di lati a, b, c, per cui
a2 +b2 = c2
Se si prendono i triangoli equilateri oppure gli esagoni è facile trovare l'area dei tre poligoni
per verificare che la somma delle due aree più piccole equivale a quella grande.
Se si vuole generalizzare al caso di un poligono regolare di n lati bisogna utilizzare la
trigonometria per trovare l'area:
dati l e n trovare l'area del poligono regolare di n lati uguali ad l.
l'angolo opposto al lato l sarà dato da 2 π/n. Avremo quindi un triangolo isoscele di base l e di
cui si conoscono gli angoli. E' facile quindi trovare l'altezza relativa alla base l.
Ciò fatto si trova l'area del triangolo isoscele e l'area dell'intero poligono regolare.
Triangolo rettangolo e semicerchi
L'area dei due semicerchi più piccoli è uguale all'area del semicerchio più grande.
Lunule e triangolo rettangolo
Nel grafico realizzato con GeoGebra, il triangolo rettangolo ABC, i semicerchi di diametro AB, BC,
CA. In rosso le lunule ottenute togliendo il semicerchio con diametro CA dai due semicerchi
costruiti sui cateti.
Si dimostra che la somma delle aree delle due lunule equivale all'area del triangolo rettangolo.
Vedi la dimostrazione.
Lunula e triangolo rettangolo isoscele
In figura il triangolo rettangolo isoscele con i cateti uguali ad a, il semicerchio con diametro c,
il settore circolare con centro in B e passante per A e C.
Sottraendo dall'area totale (semicerchio di diametro c più area triangolo), l'area del
settore circolare, si ottiene l'area della lunula.
Vedi la dimostrazione.
Lunule e quadrato
L'area di tutte le lunule equivale all'area del ...
Lunule ed esagono
Quanto segue è tratto da matematicamedie, sito molto interessante.
In figura le lunule dell'esagono e un cerchio centrale di diametro il lato dell'esagono.
L'area delle lunule più l'area del cerchio centrale equivale all'area dell'esagono.
L'area dei due semicerchi più piccoli è uguale all'area del semicerchio più grande.
L'area di tutte le lunule equivale all'area del ...
In figura le lunule dell'esagono e un cerchio centrale di diametro il lato dell'esagono.