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| La dinamica di Verhulst è uno dei più semplici modelli matematici dove si può notare un andamento caotico. E' stato creato per una semplice modellizzazione della crescita di una popolazione in un territorio, ed ovviamente appare molto semplificato rispetto a quanto avviene nella realtà: tuttavia, rappresenta un primo passo importante verso la comprensione di certi fenomeni all'apparenza "caotici". Il suo modello si proponeva in questa maniera: si introduceva una popolazione iniziale in un territorio: questa comincerà ad ogni iterazione (che potrebbe corrispondere ad un anno, oppure ad una stagione amorosa) a crescere, mediante un tasso di crescita: questo tasso di crescita, però, non è costante, ma varia al variare della popolazione, per rappresentare i limiti dell'ambiente alla crescita incontrollata, che fa sì che la popolazione non cresca indefinitivamente (cosa che non è assolutamente reale). | ||||||||||||||||||||||||
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| r in questa iterazione rappresenta il "tasso di crescita", ed al variare di questo parametro cambia il comportamento dell'andamento della popolazione nel tempo. Il termine a destra è formato da (1+r)xn che rappresenta la crescita della popolazione (più piolo è r, più lentamente cresce), mentre il secondo termine rx2, che si sottrae, rappresenta la risorsa dell'ambiente: più grande è la popolazione, più grande è il termine, e dato che si sottrae abbiamo meno risorse, che influisce sul numero della popolazione successiva. Cominciamo con un insediamento, rappresentante un basso numero di popolazione iniziale, e cominciamo ad iterare: per ogni anno (stagione, generazione, fate un poco voi), con un tasso di crescita pari a 1.8, ottengo il grafico a destra che, come potete vedere, indica che la popolazione si stabilizza, dopo un periodo iniziale, ad un valore costante.
Per valori crescenti di r, si cominciano a notare strane cose: per esempio, impostando il valore di r a 2.4, otteniamo quello che si chiama raddoppiamento del periodo. In questo caso, la popolazione non diverrà più stabile, ma si metterà ad oscillare alternativamente fra due valori, uno massimo ed uno minimo. Aumentando ancora questo valore, portandolo, ad esempio, a 2.5, notiamo come stavolta si abbia un'oscillazione di periodo 4; la popolazione, sempre dopo un periodo iniziale, si mette ad oscillare con periodicità fra quattro valori. In questa condizione di raddoppiamento del periodo, verrebbe da pensare che all'aumentare di r aumenti sempre il numero di oscillazioni di un "ciclo" completo. Ciò, effettivamente, è vero fino ad un valore limite. Per r = 2.570, infatti, il processo smette di essere periodico e regolare, introducendo il carattere caotico dell'andamento della popolazione. Non si avremmo mai dei valori stabili, e non si otterrà nessuna periodicità. Questo porta all'impossibilità di conoscere, a lungo termine, l'andamento della popolazione a priori (cosa che con andamenti regolari è abbastanza semplice, invece). A destra si può notare l'andamento della popolazione in un caso come questo. Bisogna notare, che l'unico parametro a variare è stato sempre r, e non x0, cioè la popolazione iniziale. Possiamo riassumere tutto quanto in un grafico soltanto: nelle ascisse andremo a mettere i valori di x, mentre nelle ordinate andremo a mettere i valori in cui oscilla (oppure NON oscilla) la popolazione. Per crearlo, per ogni r tralascio le prime n iterazioni (in questo caso 100), in modo che si abbi il tempo di stabilizzarsi, e poi disegno i punti corrispondenti alle 200 iterazioni successive. Si vede facilmente come prima il periodo si raddoppi, e dopo continui a raddoppiare sempre fino a quando l'iterazione perde il suo carattere periodico: ma c'è di più: se si guarda attentamente si nota che, dentro la zone chiamiamola caotica, ci sono delle piccole zone (si vedono come delle strisce), dove il comportamento torna ad essere regolare. Ingrandendo una di queste zone, si vede come si ripresenti lo stesso medesimo schema, giustificando così la natura frattale della figura. Studiando questi intervalli, si può vedere come, considerando un intervallo, la sua distanza dall'intervallo precedente e da quello successivo, il rapporto fra queste distanze tenda ad un valore finit0, caratteristico di molte dinamiche di raddoppiamento del periodo; rappresenta quindi una costante fondamentale in questo capo della matematica.
E tutto questo a partire da una iterazione all'apparenza semplice! |
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