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| Il frattale di Newton, a contrario di quanto potrebbe far sospettare il nome, non fu scoperto da Newton; furono altri studiosi a scoprirlo ed a studiarlo. Si chiama così per il semplice fatto che viene creato da delle formule di newton.
La formula (o per meglio dire) l'algoritmo "colpevole", è quello che permette di calcolare gli zeri di una funzione. Un procedimento che Newton aveva proposto per la risoluzione di equazioni nel campo reale, che invece danno questo affascinante frattale, se studiato nel dominio dei complessi. |
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| Vediamo prima come funziona il metodo di Newton: è un procedimento numerico per il calcolo degli zeri di un polinomio (o di una funzione in generale): si basa sulla seguente formula iterativa:
questa formula è chiamata anche formula delle tangenti. In pratica funziona così: si prende un x0 che si suppone vicino alla soluzione, e, preoseguendo con l'iterazione, si ci avvicinerà sempre di più alla soluzione cercata: per ogni iterazione, si traccia la retta tangente al punto (xn, f(xn)), e la sua interstezione con l'asse x rappresenta il nuovo punto da iterare. Si può capire come, al variare di x0, possa variare la soluzione cui converge, se l'equazione ne possiede più di una. |
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| Qui a lato si può vedere una funzione reale, col metodo di newton applicato. Le due sequenze di rette rappresentano l'iterazione per due semi iniziali diversi: si può notare come a seconda del seme cambia la soluzione cui converge. Avremo, quindi, delle "regioni" di punti, caratterizzati dal fatto che qualsiasi punto appartenentead una regione fa convergere l'algoritmo ad una determinata soluzione. In questo caso, le regioni di decisione sono le due semirette che partono dal punto di minimo della funzione. Le due regioni sono ben distinte. quello che rende questo processo capace di generare immagini frattali è quello di estendere il processo ad equazioni e funzioni a zeri complessi. Questo studio fu effettuato per la prima volta nel 1879 da Arthur Cayley, che già notò cime una sempice equaizone come z3+1=0 presentasse qualche complicazione nella risoluzione (intanto, questo scritto fu la base per lo sviluppo della teoria di Julia e Fatou).
L'argomento fu ripreso nel 1977 dallo studioso Hubbard (da una domanda di un suo studente): si chiese cosa sarebbe successo se si fosse preso a caso un numero complesso z0 per l'iterazione, e descrivere i "bacini d'attrazzione" di questa iterazione. Tralasciando tutta la matematica, vediamo alcune semplici conclusioni. Prendendo l'equazione Z3+1 = 0, è facile notare che ci saranno tre soluzioni, e quindi anche tre bacini d'attrazione: com'è logico supporre, i bacini tendono a formarsi attorno il punto di 0, le soluzioni dell'equazione. Ciò che non ci si aspettava, invece, è stato il comportamento della zona di confine fra queste tre regioni. Ci si aspettava un limite netto, come nell'immagine a destra. Invece, si è visto che non è così. Non appena ci si avvicina al confine fra i bacini 1 e 2, per esempio, ecco che spunta una piccola zona di bacino 3, per dividerli: a sua volta questo nuovo confine che si forma tra bacino 1 e 3, a sua volta è interrotto dal bacino 2 e così via, all'infinito, creando appunto il frattale di Newton. L'immagine a sinistra è stata ottenuta per la semplice equazione Z3+1 = 0, e al crescere della complessità dell'equazione, cresce anche quella del frattale che si ottiene. Le altre immagini sono ottenute usando il metodo di newton per trovare gli zeri nelle equazioni Z5+1 = 0 e Z3+4Z5+10 = 0. Si vede come si deversifichino di molto. |
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Come ci si aspettavano i bacini d'attrazione, dedotti dal comportamento reale
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Frattale di Newton corrispondente all'equazione Z3+4Z5+10 = 0
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Immagine ottenuta, con i tre bacini d'attrazione colorati in modo diverso, per l'equazione Z3+1 = 0
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| Frattale di Newton corrispondente all'equazione Z5+1 = 0 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
