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| La curva di Koch è uno degli esempi più classici di L-System. Si tratta in pratica di una ripetizione successiva di una determinata regola costruttiva, applicata di volta in volta in tutte le parti: si parte da una geometria semplice, per arrivare ad una forma che è sempre più complessa man mano che aumenta il numero di iterazioni. La setessa regola, ad ogni iterazione, si applica a porzioni via via più piccole dell'immagine. Da qua viene il dettaglio. | ||||||||||||||||||||||||||||
| Possiamo vedere a sinistra la prima iterazione, cui corrisponde la forma principale che determinerà la forma finale della curva di Koch; in questo caso abbiamo preso un triangolo, che forma la curva più classica e famosa.
Si prende un segmento, e si sostituisce il suo terzo centrale con un triangolo: questa è appunto la prima iterazione. Adesso, vediamo che la figura ottenuta dalla prima iterazione è formata da vari segmenti: per ottenere la figura della seconda iterazione, applichiamo un'altra volta lo stesso procedimento, stavolta per ogni segmento: ad ogni segmento che compone la figura della prima iterazione, sostituiamo il terzo centrale con un triangolo equilatero, ottenendo l'immaginee corrispondente alla seconda iterazione. Vediamo che aumenta il dettaglio dell'immagine, pur avendo applicato la stessa regola: la particolarità degli L-System, infatti, risiede proprio nella loro capacità di creare figure complesse a partire da semplici regole. Ripetendo ancora una volta il procedimento, si arriva al risultato della terza iterazione, e così via. Sotto si vede anche il risultato per un grande numero N di iterazioni: i triangoli divengono sempre più piccoli, ed aumenta il dettaglio creando, per N che tende ad infinito, una figura frattale. Dalla curva di Koch si può vedere facilmente una caratteristica delle figure frattali: il loro perimetro infinito: si vede, infatti, che ad ogni iterazione la lunghezza totale di tutti i segmenti aumenta di un fattore 4/3 (vedete un poco voi come: è semplice): se, quindi, il segmento originario aveva una lunghezza unitaria, dopo n iterazioni la figura avrà una lunghezza totale pari a 1* (4/3)n e si vede come, per n che tende ad infinito, il perimetro della "costa" tende ad un valore infinito. Le linee di lunghezza infinita non sono una novità nella geometria: basti pensare alle rette. La particolarità di questa figura, però, è che il suo perimetro diventa infinito pur restando confinato in un'area finita (un rettangolo, per esempio). Provate a farlo con una retta! Questa caratteristica è una conseguenza della natura frattale della curva. Questa caratteristica è collegata anche al fatto che la figura di Koch è una figura a dimensione non intera: è come se fosse più di una linea, e meno di un piano: in particolare, la dimensione di questa digura particolare è pari a log(4)/log(3) (anche se non vi spiego come). Inoltre, si potrebbe pensare di creare una figura come questa, partendo però da una forma diversa dal triangolo: niente di più facile, se si è capito il procedimento: come quella a destra è stata ottenuta partendo da un triangolo, qui sotto si possono vedere altre curve di Koch assieme alle loro forme generatrici. Notate (non potete, ve lo dico io), che la dimensione finale dell'immagine varia a seconda della forma generatrice. |
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