Flatlandia, la celebre favola matematica, che descrive un mondo a due sole dimensioni, è un testo che unisce pregi letterari ormai definitivamente riconosciuti a cospicue potenzialità speculative, sia di tipo matematico e logico sia più in generale filosofico. Più in particolare il testo, in quanto “scoperta e delimitazione di uno spazio astratto mediante la creazione di un linguaggio” sembra in grado di favorire due obiettivi:

• Lo sviluppo della creatività logico deduttiva, per cui, assunte certe premesse, si riescono ad immaginare conseguenze necessarie anche se logicamente o moralmente spiazzanti

• L’incremento della disponibilità a cogliere il valore di verità, cioè di scoperta, di sguardi diversi sullo stato delle cose.

Questa esercitazione si accompagna utilmente alla proposta n. 5, soprattutto ove si scelga la serie dedicata a bidimensionalità e tridimensionalità.

Per il conseguimento del primo dei due obiettivi, sarà sufficiente all’insegnante raccontare egli stesso la trama elementare di Flatlandia ai suoi alunni, introducendo poi la lettura delle prime pagine del romanzo, precisamente dei primi tre paragrafi. Gli alunni saranno poi invitati, prima in libera discussione orale, poi per iscritto, a costruire il proprio universo a due dimensioni, immaginando al suo interno problemi da risolvere, relazioni da descrivere, vantaggi e svantaggi da mettere a confronto con l’universo tridimensionale della loro esperienza ordinaria. Resta aperta la possibilità, una volta concluso il modulo, di inserire Flatlandia nella programmazione ordinaria dei docenti di Lettere e di Matematica, che potranno utilmente confrontare le creazioni degli alunni e quelle di Abbott. In alternativa alla lettura del testo o complementarmente si potrà ricorrere al breve film che Michele Emmer, professore di Matematica all’Università della “Sapienza” di Roma, ha girato a partire dalla favola di Abbott, e che egli è disposto a mettere a disposizione delle scuole. Delle invenzioni degli studenti o dello stesso racconto di Abbott, alunni ed insegnanti possono inoltre, fuori dell’orario del modulo, proporre una versione in forma di mimo o di teatro.
Per il conseguimento del secondo obiettivo, sarà utile proporre agli studenti la lettura di passaggi significativi (in particolare i paragrafi 16-22) della seconda parte del romanzo, laddove un oggetto tridimensionale, la Sfera, rivela al protagonista e narratore, un Quadrato, i limiti geometrici, teoretici e morali del mondo bidimensionale e le possibilità alternative di uno a tre dimensioni. Gli alunni potranno così guardare alla propria esperienza dello spazio con maggiore meraviglia e in modo più riflesso e prendere in considerazione gli effetti dirompenti di modi di vedere alternativi su prassi conoscitive e interpretative consolidate e abitudinarie. Attraverso la pratica della discussione guidata, l’insegnante giungerà alla graduale formalizzazione di alcune nozioni appartenenti a sfere diverse quali estraneità, alternativa, eresia, normalità, punto di vista, postulato, assioma, deduzione, coerenza, interpretazione.

• introduzione: il brano va brevemente inquadrato nel suo contesto storico e culturale

• lettura e commento;

• verifica formativa

 

Indicazioni per gli studenti

E. A. Abbott (1838-1926), sacerdote ed educatore inglese, ha scritto Flatlandia nel 1882. L’opera intende spiegare l’essenza delle tre dimensioni dello spazio lasciando intravedere la possibilità dell’esistenza di una quarta, sconosciuta, attraverso la descrizione minuta di un mondo a due dimensioni, cioè interamente piatto.

Testo (E.A. Abbott, Flatlandia, Milano, Adelphi 1966)

§ 1. Sulla natura della Flatlandia

Chiamo il nostro mondo Flatlandia, non perché sia così che lo chiamiamo noi, ma per renderne più chiara la natura a voi, o Lettori beati, che avete la fortuna di abitare nello Spazio.

Immaginate un vasto foglio di carta su cui delle Linee Rette, dei Triangoli, dei Quadrati, dei Pentagoni, degli Esagoni e altre Figure geometriche, invece di restar ferme al loro posto, si muovano qua e là, liberamente, sulla superficie o dentro di essa, ma senza potersene sollevare e senza potervisi immergere, come delle ombre, insomma - consistenti, però, e dai contorni luminosi. Così facendo avrete un idea abbastanza corretta del mio paese e dei miei compatrioti. Ahimè, ancora qualche anno fa avrei detto: “del mio universo”, ma ora la mia mente si è aperta a una più alta visione delle cose.

In un paese simile, ve ne sarete già resi conto, è impossibile che possa darsi alcunché di quel che voi chiamate “solido”. Può darsi però che crediate che a noi sia almeno possibile distinguere a prima vista i Triangoli, i Quadrati, e le altre Figure che si muovono come ho spiegato. Al contrario, noi non siamo in grado di vedere niente di tutto ciò, perlomeno non in misura tale da poter distinguere una Figura da un'altra. Niente è visibile per noi, né può esserlo, tranne che delle Linee Rette; e il perché lo dimostrerò subito.

Posate una monetina nel mezzo di uno dei vostri tavolini nello Spazio, e chinatevi a guardarla dall'alto. Essa vi apparirà come un Cerchio.

Ma ora, ritraendovi verso il bordo del tavolo, abbassate gradatamente l'occhio (avvicinandovi così sempre più alle condizioni degli abitanti della Flatlandia), e vedrete che la monetina diverrà sempre più ovale; finché da ultimo quando avrete l'occhio precisamente all'altezza del piano del tavolino (cioè, come se foste un autentico abitante della Flatlandia), la moneta avrà cessato di apparire ovale e sarà divenuta, per quanto potrete vederla, una Linea Retta.

Lo stesso accadrebbe se faceste il medesimo esperimento con un Triangolo, un Rettangolo, o una qualsiasi altra Figura ritagliata nel cartone.

Quand'ero nella Spacelandia sentii dire che i vostri marinai fanno un'esperienza assai simile quando, attraversando i vostri mari, avvistano all'orizzonte un'isola o una costa lontana. La terra in lontananza potrà essere ricca di golfi, promontori, angoli concavi e convessi di qualsivoglia numero e dimensione; tuttavia da lontano voi non vedete nessuna di queste cose (a meno che il vostro sole non le illumini vivacemente, sottolineando le sporgenze e le rientranze della terra mediante giochi di luci e di ombre), non vedete altro che una linea grigia e continua sull l'acqua.

Ebbene, questo è proprio ciò che vediamo noi nella Flatlandia quando ci viene incontro uno dei nostri conoscenti, sia egli triangolare o di altra forma. Dal momento che da noi non c'è né il sole né alcun altro tipo di luce in grado di originare delle ombre, non abbiamo nessuno degli aiuti visivi che avete voi nella Spacelandia. Se il nostro amico ci si avvicina di più, vediamo la sua linea estendersi; se si allontana la vediamo accorciarsi; ma egli continua ad avere l’aspetto di una Linea Retta; e si tratti pure di un Triangolo, di un Quadrato, di un Pentagono, di un Esagono, di un Circolo, di quel che volete, egli avrà sempre l’aspetto di una Linea Retta, e di nient'altro.

Potrete magari domandare come facciamo, in circostanze tanto sfavorevoli, a distinguere i nostri amici l'uno dall'altro: ma a questa domanda naturalissima risponderò più a proposito e con minori difficoltà quando sarò arrivato alla descrizione degli abitanti della Flatlandia. Per ora mi si consenta di differire la questione, e di dire una parola o due sul clima e sulle abitazioni del nostro paese.

§ 2. Sul clima e le abitazioni della Flatlandia

Come da voi, così anche da noi ci sono quattro punti cardinali, Nord, Sud, Est e Ovest.Dal momento che non ci sono né sole né altri corpi celesti, per noi è impossibile determinare il Nord nel modo consueto; abbiamo però un nostro sistema. Da noi una Legge di Natura vuole che ci sia una costante attrazione verso il Sud; e benché quest'attrazione sia molto lieve nelle zone temperate (tanto che lì anche una Donna in condizioni di salute normali può spostarsi di parecchie centinaia di metri in direzione Nord senza gravi difficoltà) tuttavia l'effetto ostacolante che deriva dall'attrazione verso il Sud è più che sufficiente a fungere da bussola nella maggior parte del nostro mondo. Inoltre, la pioggia (che cade a epoche fisse) costituisce un ulteriore aiuto, poiché proviene sempre dal Nord; e nelle città abbiamo la guida delle case, che com'è naturale hanno le pareti laterali orientate quasi sempre da Nord a Sud, così che i tetti possano proteggere dalla pioggia che viene dal Nord. In campagna, dove non ci sono case, possono fungere da guida i tronchi degli alberi. In complesso, per orientarci non incontriamo tutte le difficoltà che ci si potrebbe immaginare.

Con tutto ciò mi è capitato, trovandomi in qualcuna delle nostre regioni più temperate, dove l'attrazione verso il Sud non si sente quasi, e camminando per una pianura perfettamente deserta, dove non c'erano case né alberi a farmi da guida, mi è capitato, dicevo, di essere costretto a restar fermo per delle ore, in attesa della pioggia, prima di poter riprendere il cammino. Per la gente anziana e per le persone deboli, specialmente le Femmine più delicate, la forza d'attrazione è assai più sensibile che per gli esponenti più robusti del Sesso Maschile, così che è buona norma d'educazione, incontrando una Signora per istrada, cederle il lato Nord della via; il che non è sempre facile da mettere in pratica, soprattutto se il preavviso è stato breve, se vi trovate in cattiva salute e in un clima dove sia piuttosto difficile distinguere il vostro Nord dal vostro Sud.

Finestre nelle nostre case non ce ne sono: perché la luce ci giunge allo stesso modo in casa e fuori, di giorno e di notte, ugualmente a ogni ora e in ogni luogo; donde, non lo sappiamo. “Qual è l'origine della luce?". Nei vecchi tempi era questo un problema canonico, che i nostri eruditi si ponevano sovente. La risposta è stata cercata più volte, con l'unico risultato di affollare di aspiranti risolutori i nostri manicomi. Di conseguenza, dopo alcuni vani tentativi di sopprimere tali ricerche indirettamente, rendendole passibili di una tassa gravosa, la Legislazione in tempi relativamente recenti, le ha proibite del tutto. Io - ahimè, io solo in tutta la Flatlandia - conosco ora anche troppo bene la soluzione di questo misterioso problema; ma non c'è verso di fare intendere la mia scienza a uno solo dei miei compatrioti; e mi si irride - me, il solo possessore delle verità dello Spazio e della teoria dell'introduzione della Luce dal mondo a Tre Dimensioni - come se fossi il più pazzo dei pazzi! Ma bando a queste penose digressioni: torniamo alle nostre case.

Case triangolari e quadrate non sono permesse, ed eccone la ragione. Poiché gli angoli di un Quadrato (e ancor più quelli di un Triangolo Equilatero) sono assai più aguzzi di quelli di un Pentagono, e poiché le linee degli oggetti inanimati (come le case) sono meno nitide di quelle degli Uomini e delle Donne, ne deriva che non lieve è il pericolo che gli spigoli di un’abitazione rettangolare o triangolare rechino seri danni al passante imprudente o distratto, che vi vada a cozzare contro: e perciò già nell'undicesimo secolo della nostra èra le case triangolari furono universalmente proibite a norma di Legge, con l'unica eccezione delle fortificazioni, dei depositi di polvere da sparo, delle caserme e di altri edifici governativi a cui non è desiderabile che il pubblico si avvicini troppo alla leggera.

In quel periodo si consentivano ancora dappertutto case quadrate, pur tentando di scoraggiarle con una tassa speciale. Ma, circa tre secoli dopo, la Legge stabilì che, per ogni città che superasse i diecimila abitanti, non si potessero autorizzare angoli di case inferiori a quelli di un Pentagono, per motivi di sicurezza pubblica. Il buon senso della comunità assecondò gli sforzi della Legislazione; e adesso, anche in campagna, la costruzione pentagonale ha soppiantato tutte le altre. È solo di quando in quando, in qualche distretto agricolo assai arretrato e remoto, che a un ricercatore di antichità può ancora capitare d'imbattersi in una casa quadrata.

[…]

§ 16. Sui vani tentativi dello Straniero di rivelarmi a parole misteri della Spacelandia

Appena il Grido di Pace di mia moglie si fu dissolto in lontananza, incominciai ad avanzare verso lo Straniero con l’intenzione di guardarlo più da vicino e di invitarlo a sedersi; ma il suo aspetto mi fece restare muto e immobile dalla meraviglia. Benché non presentasse la minima traccia di angolarità egli, tuttavia, continuava a variare ogni momento, raggiungendo dei gradi di misura e di lucentezza impossibili per qualsiasi Figura di cui avessi avuto esperienza. Mi balenò il pensiero di trovarmi davanti a un ladro o a un assassino, forse a un Isoscele mostruosamente Irregolare che, imitando la voce di un Circolo, fosse riuscito in qualche modo ad ottenere accesso alla Casa e che ora si stesse preparando a trafiggermi col suo angolo acuto.

In un salotto, l'assenza di nebbia (e si dava il caso che in quei giorni la stagione fosse notevolmente asciutta) mi rendeva difficile affidarmi al Riconoscimento a Vista, specialmente a una distanza breve come quella cui ci trovavamo. La paura mi fece abbandonare ogni riguardo; mi slanciai in avanti con un poco cerimonioso “Posso chiederle, Signore..", e lo tastai. Mia moglie aveva ragione. Non c'era traccia da un solo Angolo, non la minima ruvidezza o disuguaglianza: mai in vita mia m'ero imbattuto in un Circolo più perfetto. Egli rimase immobile mentre io gli camminavo intorno, partendo dal suo occhio e lì tornando. Era Circolare dappertutto, un Circolo perfettamente soddisfacente; non ci potevano esser dubbi in proposito. Allora seguì un dialogo, che mi forzerò di buttar giù quanto più fedelmente potrò ricordarlo, tralasciando solo una parte delle scuse in cui mi profusi. In verità, mi sentivo pieno di vergogna e di umiliazione al pensiero che io, un Quadrato, avessi potuto commettere l’impertinenza di tastare un Circolo. Fu lo Straniero a cominciare per primo, un po’ impazientito per la lunghezza dei miei preamboli.

STRANIERO. Mi avete tastato abbastanza, adesso? Non mi conoscete ancora?

IO. Illustrissimo Signore, perdonate la mia goffaggine, che non proviene dall'ignoranza delle usanze della buona società, ma da una certa sorpresa e nervosismo davanti a questa visita alquanto inattesa. E vi prego di non far parola a nessuno della mia indiscrezione, e specialmente a mia Moglie. Ma prima che la Signoria Vostra proceda a ulteriori comunicazioni, vorrebbe Ella degnarsi di soddisfare la curiosità di chi sarebbe lieto di sapere donde viene il suo Visitatore?

STRANIERO. Dallo Spazio, dallo Spazio, signor mio: e da dove, se no?

IO. Perdonatemi, Signore, ma non si trova nello Spazio anche adesso la Signoria Vostra, la Signora Vostra come il suo umile servitore, in questo preciso momento?

STRANIERO. Bah! Che cosa ne sapete voi dello Spazio? Definitemelo, lo Spazio.

IO. Lo Spazio, mio Signore, è l'altezza e la larghezza prolungate all'infinito.

STRANIERO. Proprio così: vedete che voi non sapete che cosa sia, lo Spazio! Credete che consista di due sole Dimensioni; io, invece, sono venuto ad annunciarvene una Terza - altezza, larghezza, e lunghezza.

IO. La Signoria Vostra si diverte a scherzare. Anche noi parliamo di lunghezza e di altezza, o di larghezza e spessore, cosi indicando due Dimensioni con quattro nomi.

STRANIERO. Ma io non voglio dire solo tre nomi, ma Tre Dimensioni.

IO. Vorrebbe la Signoria Vostra indicarmi o spiegarmi in quale direzione si trova la Terza Dimensione, a me sconosciuta?

STRANIERO. È di li che io vengo. È qui sopra, e qui sotto.

IO. Evidentemente la Signoria Vostra vuol dire a Nord e a Sud.

STRANIERO. Neanche per sogno. Voglio dire una direzione in cui voi non potete guardare, perché non avete occhi sulla vostra Superficie.

IO. La Signoria Vostra mi scusi; ma una brevissima ispezione basterà a convincerla che io ho un occhio perfetto nei punto di incontro di due dei miei lati.

STRANIERO. Sì: ma per guardare nello Spazio, l'occhio dovreste averlo non sul Perimetro, ma sulla Superficie, cioè su quello che voi probabilmente chiamerete il vostro interno; ma noi nella Spacelandia lo chiameremmo la vostra Superficie.

IO. Un occhio nel mio interno! Un occhio nello stomaco! La Signoria Vostra sta scherzando.

STRANIERO. Non ho nessuna voglia di scherzare. Vi dico che vengo dallo Spazio, anzi, visto che non volete capire che cosa voglia dire Spazio, dalla Terra delle Tre Dimensioni, da cui poco fa ho abbassato lo sguardo su questo vostro Piano che voi chiamate, guarda un po', Spazio. Da quella posizione di vantaggio ho scorto tutto quello di cui parlate come di solido (parola con cui voi volete dire "chiuso da quattro lati"): le vostre case, le vostre chiese, persino i vostri forzieri e casseforti, sì, anche l'interno del vostro stesso corpo con le sue viscere, tutto bell’aperto ed esposto al mio sguardo.

IO. Cose simili si fa presto a dirle, Signor mio!

STRANIERO. Ma non a provarle, volete dire. Ma io ho intenzione di provare le mie affermazioni.

Quando sono sceso quaggiù, ho visto i vostri quattro figli, i Pentagoni, ciascuno nella sua stanza, nonché i vostri due nipotini, gli Esagoni; ho visto il vostro Esagono più giovane intrattenersi alquanto con voi e quindi ritirarsi in camera sua, lasciando soli voi e vostra moglie. Ho visto i vostri servi Isosceli, in numero di tre, che cenavano in cucina, e il paggetto nel retrocucina. Poi sono venuto qui, e come credete che sia entrato?

IO. Dal tetto, immagino.

STRANIERO. Ma no. Il tetto di casa vostra, come sapete benissimo, è stato riparato di recente, e non ha neanche un’apertura da cui possa passare una Donna. Vengo dallo Spazio, vi dico. Non siete persuaso da quanto vi ho detto dei vostri i figli e della vostra casa?

IO. La Signoria Vostra saprà certo che quei dati riguardanti la casa e la famiglia di questo suo umile servitore possono essere facilmente reperiti nel vicinato da chiunque possegga gli ampi mezzi di ottenere informazioni che ha Vostra Signoria.

STRANIERO (fra sé). Che devo fare? Un momento: mi viene in mente un altro argomento. Quando vedete una Linea Retta - vostra moglie, per esempio - quante Dimensioni le attribuite?

IO. La Signoria Vostra vorrebbe trattarmi come fossi uno del volgo che, nella sua ignoranza della Matematica, crede che una Donna sia davvero una Linea Retta, e solo di Una Dimensione. No, no, Signor mio; noi Quadrati la sappiamo più lunga, e, come la Signoria Vostra, ci rendiamo conto che una Donna, benché comunemente chiamata Linea Retta, è, in realtà e scientificamente, un Parallelogramma molto sottile, avente Due Dimensioni, come il resto di noi, cioè lunghezza e larghezza (o spessore).

STRANIERO. Ma il fatto stesso che una Linea Retta sia visibile implica che essa possiede anche un'altra Dimensione.

IO. Mio Signore, ho appena ammesso che una Donna è larga, non meno che lunga. Noi la sua lunghezza la vediamo, la sua larghezza la deduciamo; perché quest’ultima, sebbene quasi impercettibile, può essere misurata.

STRANIERO. Voi non mi comprendete. Voglio dire che quando vedete una Donna, oltre a dedurne la larghezza e a vederne la lunghezza, dovreste vedere quello che noi chiamiamo la sua altezza, per quanto quest'ultima Dimensione sia infinitesimale nel vostro paese. Se una linea avesse solo la lunghezza, senza l’ “altezza”, cesserebbe di occupare lo Spazio e diventerebbe invisibile. Di questo vi rendere conto, no?

IO. Davvero debbo confessare di non comprendere affatto la Signoria Vostra. In Flatlandia, quando vediamo una Linea, ne vediamo la lunghezza e la lucentezza. Se la lucentezza sparisce, la linea si estingue, e, come dite, cessa di occupare lo Spazio. Ma devo forse supporre che la Signoria Vostra dia alla lucentezza l'attributo di Dimensione, e che chiami "alto” quello che noi chiamiamo "lucente"?

STRANIERO. Niente affatto. Per "altezza" io intendo una Dimensione come la vostra lunghezza: solo che da voi l’ “altezza" non è facilmente percettibile, essendo estremamente ridotta.

IO. Si fa presto a mettere alla prova la vostra affermazione, Signor mio. Voi dite che ho una Terza Dimensione, che chiamate “altezza”. Ora, Dimensione comporta direzione e misura. Basta che misuriate la mia "altezza", o che mi diciate la direzione in cui questa mia "altezza" si estende, e io mi convertirò a quanto mi dite. Altrimenti la Signoria Vostra, che ha tanta comprensione, mi terrà per scusato.

STRANIERO (fra sé). Non posso fare nessuna delle due cose. Come riuscirò a convincerlo? Una semplice esposizione di fatti seguìta da una dimostrazione visiva dovrebbe bastare. - Bene Signore, ascoltatemi.

“Voi vivete su di un Piano. Voi chiamate Flatlandia la vasta superficie uniforme di quello che posso chiamare un fluido, sopra o nel quale voi e i vostri compatrioti vi muovete qua e là, senza sollevarvene né sprofondarvi.

“Io non sono una Figura Piana, ma un Solido. Voi mi chiamate Circolo; ma in realtà io non sono un Circolo, bensì un numero infinito di Circoli, di dimensioni varianti da un Punto a un Circolo di venticinque centimetri di diametro, posti l’uno sull'altro. Quando io interseco il vostro piano come sto facendo adesso, opero nel vostro piano una sezione che voi assai appropriatamente chiamate Circolo. Perché se una Sfera (è così che mi chiamo al mio paese) si manifesta a un abitante della Flatlandia, non può manifestarsi che come Circolo.

“Non vi ricordate perché io, che vedo ogni cosa, ho scorto ieri notte la visione fantasmagorica della Linelandia impressa nella vostra mente - non vi ricordate, dico, che, quando entraste nel Regno di Linelandia doveste manifestarvi al Re, non sotto forma di Quadrato, ma di Linea, perché quel Regno Lineare non aveva Dimensioni bastanti a raffigurarvi per intiero e mostrava di voi solo una fetta o sezione? Esattamente allo stesso modo, il vostro paese a Due Dimensioni non è abbastanza spazioso per raffigurare me, che sono un essere a tre Dimensioni, ma di me può mostrare solo una fetta o sezione, ossia quello che chiamate un Circolo.

“La diminuita lucentezza del vostro occhio indica incredulità. Ma adesso preparatevi ad accogliere una prova concreta della verità delle mie affermazioni. Voi non potete vedere più di una delle mie sezioni, o Circoli, alla volta, poiché non avete la facoltà di sollevare lo sguardo dal piano della Flatlandia; ma potete almeno vedere che, via via che io mi alzo nello Spazio, le mie sezioni divengono più piccole. State a guardare, adesso mi alzerò: e l’effetto sul vostro occhio sarà tale che il mio Circolo diventerà sempre più piccolo, fino a diventare un punto e finalmente svanire".

Nessun lettore della Spacelandia faticherà a capire che il mio ospite misterioso parlava la lingua della verità, anzi della semplicità. Ma per me, per quanto dotto fossi nella Matematica flatlandese, la questione non era affatto semplice. Il rozzo disegno che ho dato sopra mostrerà chiaramente a ogni bambino della Spacelandia che la Sfera, passando, nel suo moto ascensionale, per le tre posizioni colà indicate doveva per forza manifestarsi a me, o a qualunque altro abitante della Flatlandia, sotto forma di Circolo, prima grande, poi piccolo, e da ultimo piccolissimo, quasi della misura di un Punto. Ma, sebbene avessi i fatti davanti a me, le cause mi erano più oscure che mai. Tutto quanto potei afferrare fu che il Circolo era diventato più piccolo e che finalmente era svanito, e che adesso era ricomparso e stava rapidamente rifacendosi più grosso.

Quando fu ritornato alla misura originaria, emise un profondo sospiro, perché dal mio silenzio indovinava che non ero assolutamente riuscito a capirlo. E veramente adesso incominciavo a pensare che, dopotutto, non era un Circolo, ma chissà, magari un giocoliere estremamente abile; oppure erano forse vere le storie delle vecchie comari, e che Maghi e Incantatori esistevano sul serio.

Dopo una lunga pausa egli borbottò fra sé: “Rimane una sola risorsa, prima di passare all'azione. Devo tentare col sistema dell'Analogia”. Poi ci fu una pausa ancora più lunga, dopo la quale egli riprese il nostro dialogo.

SFERA. Ditemi, Signor Matematico; se un Punto si spostasse verso il Nord, lasciando dietro di sé una scia luminosa, come chiamereste quella scia?

IO. Una Linea Retta.

SFERA. E quante estremità ha una Linea Retta?

IO. Due.

SFERA. Adesso immaginate che questa Linea retta che punta verso Nord si sposti parallelamente a se stessa, a Est e a Ovest, cosi che ogni suo punto si lasci dietro come scia una Linea Retta. Come la chiamereste la Figura risultante? Supponiamo che si sposti per una distanza uguale alla Linea Retta di prima. Allora, come la chiamereste?

IO. Un Quadrato.

SFERA. E quanti lati ha un Quadrato? Quanti angoli?

IO. Quattro lati e quattro angoli.

SFERA. Adesso lavorate un po' di fantasia, e immaginate un Quadrato nella Flatlandia che si sposti parallelamente a se stesso verso l'alto.

IO. Come? Verso il Nord?

SFERA. No, non verso il Nord; verso l'alto; proprio fuori della Flatlandia.

“Se si spostasse verso il Nord, i punti meridionali del Quadrato dovrebbero passare per le posizioni precedentemente occupate dai punti settentrionali. Ma non è questo che intendo.

“Quello che intendo è che ogni vostro Punto - poiché voi siete un Quadrato e servirete allo scopo della mia spiegazione - vale a dire ogni punto in voi, cioè in quello che voi chiamate l'interno del vostro corpo, deve attraversare lo Spazio diretto verso l’alto, in modo che nessun Punto passi per una posizione precedentemente occupata da qualsiasi altro Punto; ma ogni Punto descriva una Linea Retta sua propria. Tutto ciò è in accordo con l'Analogia e vi sarà certo chiaro".

Reprimendo la mia impazienza (perché adesso provavo una forte tentazione di scagliarmi ciecamente contro il mio Visitatore e di scaraventarlo nello Spazio, o fuori della Flatlandia, dovunque, pur di liberarmi di lui), replicai:

“E quale sarebbe la natura della Figura che io formerei con questo moto che vi siete compiaciuto di descrivere con l’espressione "verso l'alto”? Si potrà pur descrivere nel linguaggio flatlandese, no? ".

SFERA. Oh, certo. È tutto chiaro e semplice, e in stretto accordo con l’Analogia... solo, però, che il risultato non dovrete chiamarlo una Figura, ma un Solido. Ma ve lo descriverò io. Anzi, non io, ma l'Analogia.

"Abbiamo cominciato con un singolo Punto, che naturalmente, essendo un Punto esso stesso, non ha che un Punto terminale.

"Un Punto produce una Linea con due Punti terminali.

“Una Linea produce un Quadrato con quattro Punti terminali.

“Ora siete in grado di rispondere da solo alla vostra stessa domanda: 1, 2, 4 formano evidentemente una Progressione Geometrica. Quale sarà il prossimo numero?”

IO. Otto.

SFERA. Precisamente. Quell’unico Quadrato produrrà un Qualcosa-che-voi-ancora- non-sapete-come-si-chiama-ma-che-noi-chiamiamo-Cubo, il quale ha otto Punti terminali. Siete persuaso adesso?

IO. E questa Creatura ha dei lati, così come ha degli angoli o ciò che voi chiamate “Punti terminali”?

SFERA. Naturalmente: tutto come vuole l'Analogia. Ma, a proposito, non quello che voi chiamale lati, ma quello che noi chiamiamo facce. Voi li chiamereste Solidi.

IO. E quanti solidi o facce avrà questo Essere che io debbo generare mediante il movimento dell'interno del mio corpo in una direzione “verso l'alto” e che voi chiamate Cubo?

SFERA. E me lo chiedete? Voi, un Matematico! Il lato di ogni cosa indica sempre, per così dire, un'unica Dimensione che si estende dietro la cosa. Di conseguenza, dal momento che non ci sono Dimensioni dietro a un Punto, un Punto ha O lati; una Linea, per così dire, ha 2 lati (perché i Punti di una Linea possono chiamarsi, per cortesia, i suoi lati); un Quadrato ha 4 lati; 0,2,4; come la chiamate una Progressione del genere?

IO. Aritmetica.

SFERA. E quale numero viene dopo?

IO. Sei.

SFERA. Precisamente. Vedete quindi che avete risposto da solo alla vostra domanda. Il Cubo che generereste sarebbe delimitato da sei facce, vale a dire da sei superfici corrispondenti all'interno del vostro corpo. Vi pare di vederlo, ora, eh?

"Mostro," gridai "giocoliere, incantatore, sogno o diavolo che tu sia, non tollererò oltre i tuoi scherzi. O tu o io!". E pronunciando queste parole mi scagliai contro di lui.

§ 17 - Come la SFERA, avendo tentato invano con le parole, fece ricorso ai fatti

Ma fu invano. Investii violentemente lo Straniero col mio angolo retto più duro, spingendolo con una forza che sarebbe bastata a distruggere qualunque Circolo ordinario: ma me lo sentii scivolare via, con un moto lento e inarrestabile; non che si spostasse a sinistra o a destra, era come se in qualche modo uscisse fuori del mondo, e scomparisse nel nulla. Ben presto non ci fu che un vuoto. Ma continuavo a sentire la voce dell’intruso.

SFERA. Perché vi rifiutate di dare ascolto alla ragione? Avevo sperato di trovare in voi, che siete un uomo di senno e un matematico provetto, un apostolo per il Vangelo delle Tre Dimensioni, che a me è concesso predicare soltanto una volta ogni mille anni; ma ora non so come fare a convincervi Un momento, ho trovato. I fatti, e non le parole, proclameranno la verità. Ascoltatemi, amico mio.

"Vi ho detto che dalla mia posizione nello Spazio io posso vedere l'interno di tutte le cose che voi considerate chiuse. Per esempio, vedo in quell'armadio vicino a voi parecchie di quelle cose che chiamate scatole (ma che, come ogni altra cosa in Flatlandia, non hanno cima né fondo), piene di denaro; vedo anche due tavolette di conti. Ora scenderò in quell’armadio, prenderò una di quelle tavolette e ve la porterò. Vi ho visto chiudere a chiave l'armadio mezz'ora fa, e so che avete la chiave con voi, ma io scendo dallo Spazio; gli sportelli, come vedete, rimangono intatti. Ora sono nell'armadio e sto prendendo la tavoletta. Ce l'ho. Ora salgo con lei".

Mi precipitai all'armadio e spalancai lo sportello. Una delle tavolette era scomparsa. Con una risata di scherno, lo Straniero comparve all’angolo opposto della stanza e al tempo stesso la tavoletta apparve sul pavimento. La presi. Non poteva esserci dubbio: era la tavoletta mancante.

Emisi un gemito d'orrore, e sospettai di non essere più in possesso di tutte le mie facoltà: ma lo Straniero proseguì: "Certo, adesso avrete visto che solo la mia, e nessun'altra, è una spiegazione del tutto adeguata del fenomeno. Quelle che chiamate cose Solide sono in realtà delle Superfici; quello che chiamate Spazio non è in realtà che un grande Piano. Io sono nello Spazio, e guardo giù all’ interno delle cose di cui voi vedete solo l'esterno. Anche voi potreste lasciarlo, questo Piano, se solo riusciste a raccogliere tutta la forza di volontà necessaria. Basterebbe uno spostamento minimo verso l'alto o verso il basso per mettervi in grado di vedere tutto quello che io vedo.

“Più io mi sollevo, più mi allontano dal vostro Piano, e più vedo, benché naturalmente lo veda in una scala più piccola. Per esempio, adesso sto salendo; ora vedo il vostro vicino, l'Esagono, con i componenti della sua famiglia nelle diverse stanze; ora vedo, dieci porte più in là, l'interno del Teatro dal quale il pubblico sta uscendo in questo momento; e, dall’altra parte, un Circolo nel suo studio, immerso nella lettura. Ora torno da voi. E come prova finale, che ne direste se vi toccassi, appena appena, nello stomaco? Non vi farò male, e del resto anche se ne soffrireste un lieve dolore, niente sarà in confronto al beneficio menta le che ne riceverete”.

Prima che potessi pronunziare una parola di rimostranza, sentii un dolore cocente nelle viscere, e una risata demoniaca parve scaturire da dentro di me. Un momento dopo, la fitta accecante era passata, senza lasciare altra traccia che un dolore sordo, e lo Straniero incominciava a ricomparire dicendo, a mano a mano che le sue proporzioni aumentavano: “Ecco, non vi ho fatto troppo male, vero? Se non siete persaso ora, non so che cosa ci vorrà per convincervi. Che ne dite?".

La mia decisione era presa. Accettare un'esistenza soggetta alle arbitrarie intrusioni di un Mago, capace di giocare simili tiri al mio stomaco, era intollerabile. Se solo avessi potuto inchiodarlo contro il muro, in un modo qualsiasi, finché non fossero giunti degli aiuti!

Una volta ancora mi scagliai contro di lui col mio angolo più duro, gettando allo stesso tempo l'allarme in tutta la casa con le mie grida di aiuto. Credo che al momento del mio assalto lo Straniero si fosse abbassato sotto il livello del nostro Piano, e facesse veramente difficoltà ad alzarsi. In ogni modo, egli rimase immobile, mentre io, sentendo, cosi mi parve, il rumore di qualche soccorso che arrivava, continuavo a spingerlo con rinnovato vigore, sempre chiamando aiuto.

La Sfera fu percorsa da un brivido convulso. “Così non va,” mi parve di sentirgli dire “se non ascolta la voce della ragione, dovrò ricorrere all'ultima risorsa della civiltà”. Poi, apostrofandomi con voce più alta, pronunziò in fretta: “Ascoltate: nessun estraneo deve essere testimone di quanto avete visto. Rispedite via subito vostra moglie, prima che entri nella stanza. Il Vangelo delle Tre Dimensioni non dev'essere frustrato in questo modo, né debbono esser gettati via i frutti di mille anni di attesa. La sento venire. Indietro! Indietro! Via da me, o dovrete venire con me - là dove non sapete- nella Terra delle Tre Dimensioni!”.

“Sciocco! Pazzo! Irregolare!”. esclamai io. “Non ti lascerò più andare: pagherai il fio delle tue imposture “.

"Ah! A questo siamo giunti?" tuonò lo Straniero. "Allora affronta il tuo fato: uscirai dal tuo Piano. Uno, due, tre! Ecco fatto!".

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(per ciascuna risposta max 4 righe)

• In che modo Abbott dimostra che triangoli, quadrati ed altre figure non sono distinguibili?

• In Flatlandia le figure geometriche si possono muovere liberamente?

• Il mondo a due dimensioni di Flatlandia può essere paragonato a quello di una pagina di un fumetto? E per quale motivo?

• Come vengono distinti a Flatlandia i punti cardinali?

• Perché non sono permesse case triangolari o quadrate?

• Com’è garantita la mobilità sociale?